Formeln zur BerechnungSchauen wir uns ein paar Formeln zu Berechnungen an einem Drachenviereck an: Show
MethodeMethodeHier klicken zum Ausklappen Flächeninhalt: $A = \frac {1}{2} h \cdot c$ Umfang: $U = 2 \cdot (a+b)$ Die Bedeutung der Abkürzungen $h, c, a $ und $b$ ist hier dargestellt:  Abbildung: Drache mit Bezeichnungen Herleitung der FormelnHier schauen wir uns an, wie die Formeln zur Berechnung erklärt werden können. FlächeninhaltBetrachten wir folgendes Bild: Abbildung: Flächeninhalt Drache Der Flächeninhalt von einem Drachenvieleck ist die Höhe (also die Länge der einen Diagonale) mal der Breite (die Länge der anderen Diagonale) geteilt durch zwei. In der Abbildung können wir erkennen, dass der Flächeninhalt von dem Drachenviereck in die Hälfte des Rechtecks hineinpasst. So kannst du dir die Formel ganz einfach merken. Umfang:Es ist klar, dass alle Seitenlängen einfach addiert werden müssen. Da die Längen zweimal vorkommen, ergibt sich: $U = 2\cdot (a+b)$ BeispielaufgabeSchauen wir uns eine Beispielaufgabe an: BeispielBeispielHier klicken zum Ausklappen Berechne den Flächeninhalt und den Umfang dieses Drachenvierecks: Abbildung: Drache mit Längenangaben Den Umfang berechnen wir, indem wir die Längen der Seiten zusammenrechnen: $U = 2 \cdot (20 cm + 34 cm) = 108 cm$ Den Flächeninhalt erhalten wir, indem wir die Höhe mal die Breite rechnen und durch zwei teilen. $A = \frac{1}{2} *42 cm \cdot 32 cm = 672 cm^2$ Mit den Übungsaufgaben kannst du dich testen. Viel Erfolg dabei!
Genau dene Rechnungen sollten dagegen sprechen. Wie lauten deine Rechnungen? PS: Ich sehe gerade, dass du das erforderliche Gegenbeispiel schon erhalten hast. Was ist noch unklar? Beantwortet 16 Mär 2021 von abakus 41 k Danke für die Antwort meine Rechnungen sehen so aus: 1 Rechteck: a=5, b=7 u=2•5+2•7=24 A=5•7=35 2 Rechteck: a=4, b=8 u=2•4+2•8=24 A=4•8=32 Wie gesagt jetzt soll ich das mit Worten begründen warum die Aussage falsch ist. Grüße Lernpfad Zielsetzung: Schüler entdecken Schritt für Schritt die Formel des Flächeninhalts und lernen damit zu rechnen. Altersstufe: 5. Jahrgangsstufe am Gymnasium Zeitbedarf: ca. 70 Minuten Materialen: Computer (mit Java und GeoGebra) und Heft. ArbeitsaufträgeKästchen zählen
Ihr kennt bereits die verschiedenen geometrischen Figuren. Heute wollen wir uns mit dem Flächeninhalt von geometrischen Figuren beschäftigen. Betrachtet dazu die Zeichnungen und ermittelt, aus wie vielen Kästchen die Rechtecke bestehen. Für diese Aufgabe habt ihr 3 Minuten Zeit! 1. Rechteck Hast du richtig gezählt?2. Rechteck Hast du richtig gezählt?3. Rechteck Hast du richtig gezählt?Vorsicht: Hier müsst ihr auch die halben Kästchen zählen!!! Zeichnen Zeichnet ein Rechteck in eurem Heft mit Flächeninhalt 16 Kästchen. Ihr seht im nächsten Bild 3 verschiedene Rechtecke abgebildet: Für diese Aufgabe habt ihr 5 Minuten Zeit!
Das Rechteck R2 besteht aus 2 Kästchen. Wie sind denn hier die Seitenlängen? Das Rechteck R3 besteht aus 12 Kästchen. Könnt ihr auch hier die Seitenlängen angeben? Was fällt euch dabei auf? Arbeit im Heft Übertragt die Rechtecke auf vorherigen Aufgabe in euer Heft. Schreibt dabei unter jedes Rechteck die Seitenlängen und den Flächeninhalt. Aus unseren Beobachtungen sehen wir, dass die Anzahl der Kästchen eines Rechtecks immer gleich des Produkts der beiden Seitenlängen ist. Für diese Aufgabe habt ihr 10 Minuten Zeit! Wir notieren: Im Rechteck R1 haben wir die Seitenlängen a = 2 und b = 3 und der Flächeninhalt beträgt 2 x 3 = 6Im Rechteck R2 haben wir die Seitenlängen e = 2 und f = 1 und der Flächeninhalt beträgt 2 x 1 = 2Im Rechteck R3 haben wir die Seitenlängen i = 4 und j = 3 und der Flächeninhalt beträgt 4 x 3 = 12Daher übertragen wir noch folgenden Satz in unserer Heft Satz Flächeninhalt des Rechtecks
Das F steht hier für Flächeninhalt!!! Ein anschauliches BeispielZum Schluss könnt ihr nun noch beobachten, wie sich der Flächeninhalt eines Rechtecks ändert, wenn man die Seitenlängen verändert. Wenn ihr die Punkte der Schieberegler e und f nach links und rechts bewegt, ändert sich auch der Flächeninhalt des Rechtecks. Andere geometrische FigurenWie könnte man den Flächeninhalt von diesen Figuren berechnen ohne die Kästchen zu zählen? Für diese Aufgabe habt ihr 8 Minuten Zeit!
MaßeinheitenBisher haben wir uns nur mit der Angabe des Flächeninhalt durch Kästchen beschäftigt. Nun wollen wir uns mit den Maßeinheiten bei Flächenberechnung beschäftigen. Dazu wollen wir aber erst einmal die Maßeinheiten der Streckenmessung wiederholen. Nehmt euch zum Durchlesen der Wiederholung und des Abschnitts "Maßeinheiten beim Flächeninhalt des Rechtecks" 8 Minuten Zeit! WiederholungIhr kennt bereits:
Maßeinheiten beim Flächeninhalt des RechtecksBetrachten wir nur eine Fläche, zum Beispiel unser lilafarbenes Rechteck von oben. Die Seite a ist 2 cm lang (ebenso die Seite c) Die Seite b ist 4 cm lang (ebenso die Seite d) Aus unserer Formel wissen wir, dass hier gilt F = 2 x 4 = 8. Aber welche Einheit ordnen wir nun unserem Rechteck zu?
Hier seht ihr eine Strecke der Länge 8 cm und ein Rechteck mit Flächeninhalt 8 __ . An diesem Beispiel könnt ihr erkennen dass die Steckeneinheit "cm" nicht zu der Fläche des Rechtecks passt. Schließlich multiplizieren wir bei einer Fläche ja eine Seitenlänge mit der anderen und rechnen somit auch mm x mm, bzw. cm x cm oder dm x dm ... Daher brauchen wir für die Fläche die Maßeinheiten wie mm², sprich Quadratmillimeter, da wir mm mit mm multiplizieren. Man kann nur Seitenlängen mit gleicher Einheit miteinander muliplizieren!!! Es funktioniert also 5cm x 7cm = 35 cm² zu rechnen. Will man hingegen 4cm x 25 mm berechnen, so muss man eine der beiden Einheiten umwandeln. Es bieten sich hier also folgende 2 Möglichkeiten an: 4cm x 25mm = 40mm x 25mm = 1000mm² oder 4cm x 2,5cm = 10cm² Die Umrechnungsgrößen sind nicht die gleichen wie bei Streckenlängen!!! Am obigen Beispiel seht ihr sehr gut, dass das Ergebnis des Produkts der Seitenlängen 4cm und 25mm gleich 1000mm² bzw. 10cm² ist. Die Tabelle oben zeigt, dass 1cm = 10mm ist. Somit ist 1cm² = 1 (cm x cm) = 1x (10mm x 10mm) = 100mm². Ebenso gilt für beispielsweise 2dm² = 2 x (dm x dm) = 2 x (10cm x 10cm) = 2 x (100cm²) = 200 cm² und hierfür gilt wiederum: 200 cm² = 200 x (cm x cm) = 200 x (10mm x 10mm) = 200 x (100mm²) = 20000mm² Verdeutlichen wir und dies nochmal anhand einer Tabelle:
AufgabenFür diese drei Aufgaben habt ihr 10 Minuten Zeit! 1. Aufgabe
a) 8 dm² ( cm² ) b) 27 m² ( dm² ) c) 43 km² ( m² ) d) 18 cm² ( mm² ) 2. Aufgabe
a) 3800 cm² ( dm² ) b) 5900 dm² ( m² ) c) 470000 m² ( km² ) d) 25 km² ( cm² ) 3. Aufgabe Berechne jeweils den Flächeninhalt der Rechtecke in einer geeigneten Einheit. a) b = 5 cm, c = 70 dm b) a = 1200 mm, b = 9 dm c) c = 5 km, d = 3000 m d) a = 50 cm, d = 200 mm e) a = 1200 dm, b = 15 m (Gib hier den Flächeninhalt in cm² an.) f) b = 5 m, c= 200 cm (Gib hier den Flächeninhalt in dm² an.) Weitere ArbeitsaufträgeAnwendungsaufgabe Kinderzimmer Nora und Paul besichtigen die neue Wohnung, in die sie umziehen wollen. Paul misst die beiden Kinderzimmer aus: Das erste ist 5 m lang und 4 m breit, das zweite 6 m lang und 3 m breit. Nora sagt: "Beide Zimmer sind gleich groß, denn 5 plus 4 ist 9 und 6 plus 3 ist auch 9." Was meinst du? Fertigt für eure Lösung im Heft eine Skizze an. Für diese Aufgabe habt ihr 10 Minuten Zeit! Check dein Wissen Für diese drei Aufgaben habt ihr 5 Minuten Zeit! Vorsicht: Ab Frage 7 auch auf Einheiten achten! Für die ganz Schnellen bzw. für zu HauseAutoren: Franziska Engerer, Lisa Henkelmann, Katharina Hesse Kann der Umfang und der Flächeninhalt gleich sein?Zwei Figuren mit demselben Umfang können also unterschiedliche Flächeninhalte haben.
Haben zwei Rechtecke den gleichen Flächeninhalt so haben sie auch den gleichen Umfang?Fazit: Rechtecke, die trotz ihrer unterschiedlichen Seitenlängen denselben Umfang haben, müssen nicht zwingend auch flächengleich sein. Rechtecke mit gleichem Umfang müssen nicht denselben Flächeninhalt haben.
Wieso a für Fläche?Eine Flächeneinheit (auch Flächenmaß genannt) ist eine Maßeinheit, mit der du den Flächeninhalt einer Fläche angibst. Der Flächeninhalt wird mit dem Großbuchstaben A abgekürzt (A wie englisch »area« und das bedeutet Fläche).
Wann ist der Flächeninhalt bei gleichem Umfang am größten?bei der Kugel der Gleichheitsfall in dieser Ungleichung eintritt. Das bedeutet, dass unter allen Figuren in der Ebene mit gleichem Umfang der Kreis den größten Flächeninhalt einschließt, und entsprechend, dass unter allen Körpern im dreidimensionalen Raum mit gleicher Oberfläche die Kugel das größte Volumen aufweist.
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Begründung flächeninhalt gleich
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