Für welche Winkel gilt sin Alpha gleich cos alpha?

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Interaktive Trigonometrie
Alle Trigonometrieformeln auf einen Blick
Was ist Trigonometrie?
Sinus-, Kosinus- und Tangenswerte sind Verhältniswerte
Gradmaß oder Bogenmaß
Viele Winkel - ein Sinuswert
Noch mehr Beziehungen
Für den Kosinus
Noch nicht kapiert?
Wann ist sin alpha gleich cos alpha?
Bei welchem Winkel ist Sinus gleich Cosinus?
Für welche Winkel gilt sin?
Wann benutze ich sin und wann cos?

Tasten ↑ und ↓ für Wertänderungen

Winkel α: Grad α in Bogenmaß: rad = π·α/180° Quadrant: I - IV Sinus: sin(α) Kosinus: cos(α) Tangens: tan(α) Kosekans: csc(α) = 1 / sin(α) Sekans: sec(α) = 1 / cos(α) Kotangens: cot(α) = 1 / tan(α)

Dies sind die Formeln zum Berechnen der Trigonometrischen Funktionen.

Präzision mit 5 Nachkommastellen

Interaktive Trigonometrie

Alle Trigonometrieformeln auf einen Blick

Hier seht ihr die notwendigen Trigonometrie-Formeln:

Sinus(Alpha) = Gegenkathete / Hypotenuse → sin(α) = GK/HY

Kosinus(Alpha) = Ankathete / Hypotenuse → cos(α) = AK/HY

Tangens(Alpha) = Gekathete / Ankathete → tan(α) = GK/AK

Kosekans(Alpha) = 1/Sinus(Alpha) = Hypotenuse/Gegenkathete → csc(α) = 1/sin(α) = HY/GK

Sekans(Alpha) = 1/Kosinus(Alpha) = Hypotenuse/Ankathete → sec(α) = 1/cos(α) = HY/AK

Kotangens(Alpha) = 1/Tangens(Alpha) = Ankathete/Gegenkathete → cot(α) = 1/tan(α) = AK/GK

Trigonometrie-Rechner online, einfach Trigonometrie online berechnen

Was ist Trigonometrie?

Definition:

Trigonometrie kann sinngemäß übersetzt werden als Dreiecksvermessung. Die Trigonometrie ist Teilgebiet der Geometrie und beruht auf Verhältniswerten im rechtwinkligen Dreieck. Der erste Mathematiker, der diese Verhältnisse nachweisbar dokumentiert hat, war Hipparchos (190 - 120 v.Chr.). Mehr als 600 Jahre nach ihm, hatte der Mathematiker Aryabatha (476 - 550 n.Chr.) dieses Prinzip auf rechtwinklige Dreiecke übertragen, von der unsere moderne Trigonometrie abstammt. Zur Geschichte siehe TRI01 Einführung zur Trigonometrie. Die oben im Koordinatensystem dargestellte Trigonometrie gehört zur "Ebenen Trigonometrie". Man kann die Trigonometrie aber auch auf gekrümmten Ebenen im Raum (z. B. auf einer Kugel) anwenden, dann spricht man von der "Sphärischen Trigonometrie".

Notwendiges Wissen zum Verständnis des Themas:

Kreise
Winkel
Rechtwinklige Dreiecke
Satz des Pythagoras

Beschriftungen am Dreieck: Gegenkathete, Ankathete, Hypotenuse

Programm aufrufen

Wortherkunft:

Das Wort "Trigonometrie" ist ein zusammengesetztes Wort. Es kann einzeln übersetzt werden als: tri - drei, gono - Eck, metrie - Maß. Trigon heißt auf Griechisch "Dreieck".

Sinus-, Kosinus- und Tangenswerte sind Verhältniswerte

Unabhängig, wie ein rechtwinkliges Dreieck skaliert (also vergrößert oder verkleinert) wird, die Verhältniswerte der Seiten zueinander bleiben stets die gleichen. Auf diesem Sachverhalt beruht die Trigonometrie. Die Videos der Lektion TRI04: Sinus und Kosinus (einfach erklärt) beleuchten dies.

Gradmaß oder Bogenmaß

Winkel lassen sich in Grad (z. B. 180°) oder Radiant (π rad) angeben. Es gibt noch weitere Einheiten für Winkel, jedoch sind Grad und Bogenmaß die am häufigsten verwendeten.

Trigonometrie - Ein umfassendes Thema

Häufige Fragen und Antworten

Wie benutzt man den Einheitskreis richtig? Finde sin 90 Grad, cos 90 Grad und mehr!
Bestimme alle reellen Zahlen x, die die Gleichung sin(x)= -0,6947 erfüllen.
Habe Probleme bei Sinus: sin(x) = 0,2474 im Intervall [0; 2π[
Habe Problem mit Taschenrechner arcsin zu berechnen
Welche Flugweite erreicht der Drachenflieger, wenn er aus einer Höhe h von 85m startet? Sinus, Cosinus, Tangens

Rechner Trigonometrie, Trigonometrie Rechner

Viele Winkel - ein Sinuswert

Der Sinus von 30° ist 0,5. Wenn du weiter um den Einheitskreis wanderst, siehst du, dass auch der Sinus von 150° gleich 0,5 ist.

$$sin(30^°)=sin(150^°)=0,5$$

Wie ist der Zusammenhang zwischen verschiedenen Winkeln und gleichen Sinuswerten genau?

Das rechte Dreieck ist gespiegelt an der y-Achse.
Der 150°-Winkel ergibt sich aus $$180^°-30^°$$ oder allgemein $$180^°-alpha$$.

Gradmaß	Bogenmaß
$$sin(alpha)=sin(180^°-alpha)$$	$$sin(x)=sin(pi-x)$$

Zur Erinnerung:
$$pi$$ im Bogenmaß entspricht 180° im Gradmaß.

Noch mehr Beziehungen

Wenn du weiterwanderst auf dem Einheitskreis, ergeben sich noch mehr Beziehungen.

Beispiel:

$$sin(30^°)=0,5$$ und $$sin(210^°)=-0,5$$.

Allgemein gilt:

Gradmaß	Bogenmaß
$$sin(alpha)=-sin(180^°+alpha)$$	$$sin(x)=-sin(pi+x)$$

Und diese Beziehung hier:

Beispiel:

$$sin(30^°)=0,5$$ und $$sin(330^°)=-0,5$$.

Gradmaß	Bogenmaß
$$sin(alpha)=-sin(360^°-alpha)$$	$$sin(x)=-sin(2pi-x)$$

Für den Kosinus

Solche Beziehungen findest du auch für den Kosinus.

Beispiel:

$$cos(30^°)=0,87$$ und $$cos(210^°)=-0,87$$.

Allgemein gilt:

Gradmaß	Bogenmaß
$$cos(alpha)=-cos(180^°+alpha)$$	$$cos(x)=-cos(pi+x)$$

Und diese Beziehung hier:

Beispiel:

$$cos(30^°)=0,87$$ und $$cos(330^°)=0,87$$.

So sieht’s allgemein aus:

Gradmaß	Bogenmaß
$$cos(alpha)=cos(360^°-alpha)$$	$$cos(x)=cos(2pi-x)$$

Noch nicht kapiert?

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Wann ist sin alpha gleich cos alpha?

Mit Hilfe dieser Beziehung kannst du ohne Taschenrechner zu jedem Winkel den Sinus aus dem Kosinus oder den Kosinus aus dem Sinus bestimmen. Wenn sin(α)=0.6 , dann cos(α)=0.8 .

Bei welchem Winkel ist Sinus gleich Cosinus?

Beziehung trigonometrischer Funktionen.

Für welche Winkel gilt sin?

cos(α + 180°) = −cos α. Die Werte von Sinus und Cosinus für beliebige Winkel ergeben sich also ganz einfach aus jenen für Winkel zwischen 0° und 90°.

Wann benutze ich sin und wann cos?

Bzgl eines Winkels mögen gewisse Seiten bekannt sein, die sich zu diesem Winkel als Gegenkathete und Hypotenuse verhalten. Ist dies der Fall und eines der genannten Unbekannt, so kann dies über den Sinus berechnet werden. Hat man nicht die Gegenkathete, sondern die Ankathete mit an Bord, dann nutzt man den Cosinus.