Um Brüche zu addieren oder zu subtrahieren, müssen diese zunächst auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden. Show Daraufhin werden lediglich die Zähler addiert oder subtrahiert. Der gemeinsame Nenner wird beibehalten. AdditionBei reinen Brüchen
BeispielBerechne 34+25\frac{3}{4}+\frac{2}{5}43+52. 1. Finde ein gemeinsames Vielfaches der Nenner. Ein gemeinsames Vielfaches der Nenner 4 und 5 ist beispielsweise 20. Dies ist auch das kleinste gemeinsame Vielfache. 2. Erweitere die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner, z.B. auf 20. 34=3⋅54⋅5=1520\frac{3}{4}=\frac{3\cdot5}{4\cdot5}=\frac{15}{20}43=4⋅53⋅5=2015 und 25=2⋅45⋅4=820\frac{2}{5}=\frac{2\cdot4}{5\cdot4}=\frac{8}{20}52=5⋅42⋅4=208 3. Addiere nun die Zähler der beiden Brüche. Der Nenner bleibt gleich.
Ergebnis: 34+25=1520+820=2320\displaystyle \frac{3}{4}+\frac{2}{5}=\frac{15}{20}+\frac{8}{20}=\frac{23}{20}43+52=2015+208=2023Bei gemischten BrüchenVereinfache die Darstellung gemischter Brüche, indem du die gemischten Brüche als Summe schreibt. Addiere alle ganzen Zahlen und addiere die übrigen reinen Brüche wie oben. BeispielBereche 4810+3254\frac{8}{10}+3\frac{2}{5}4108+352. 4 810+3 25\displaystyle 4\ \frac{8}{10}+3\ \frac{2}{5}4 108+3 52 ↓ Schreibe die gemischten Brüche als Summe. ===4 + 810 + 3 + 25\displaystyle 4\ +\ \frac{8}{10}\ +\ 3\ +\ \frac{2}{5}4 + 108 + 3 + 52↓ Addiere alle ganzen Zahlen. ===(4+3)+(810+25)\displaystyle \left(4+3\right)+\left(\frac{8}{10}+\frac{2}{5}\right)(4+3)+(108+52)===7 +(810+25)\displaystyle 7\ +\left(\frac{8}{10}+\frac{2}{5}\right)7 +(108+52)↓ Berechne die Klammer mit reinen Brüchen wie oben. Finde also einen gemeinsames Vielfaches der Nenner 10 und 5 und erweitere die Brüche darauf. Ein gemeinsames Vieldfaches ist beispielsweise 10. ===7+(810+2⋅25⋅2)\displaystyle 7+\left(\frac{8}{10}+\frac{2\cdot2}{5\cdot2}\right)7+(108+5⋅22⋅2)===7+(810+410)\displaystyle 7+\left(\frac{8}{10}+\frac{4}{10}\right)7+(108+104)↓ Addiere die Zähler der Brüche. Der Nenner bleibt 10! ===7 + 8+410\displaystyle 7\ +\ \frac{8+4}{10}7 + 108+4===7+1210\displaystyle 7+\frac{12}{10}7+1012↓ Wandle 1210\frac{12}{10}1012 in einen gemischten Bruch um. 1210=1010+210=1+210=1210\frac{12}{10}=\frac{10}{10}+\frac{2}{10}=1+\frac{2}{10}=1\frac{2}{10}1012=1010+102=1+102=1102 ===7+1+210\displaystyle 7+1+\frac{2}{10}7+1+102===8+210\displaystyle 8+\frac{2}{10}8+102===8210\displaystyle 8\frac{2}{10}8102▸ Übungsaufgaben SubtraktionBei reinen Brüchen
BeispielBerechne 34−25\frac{3}{4}-\frac{2}{5}43−52. 1. Finde ein gemeinsames Vielfaches der Nenner. Ein gemeinsames Vielfaches der Nenner 4 und 5 ist beispielsweise 20. Dies ist auch das kleinste gemeinsame Vielfache. 2. Erweitere die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner, z.B. auf 20. 34=3⋅54⋅5=1520\frac{3}{4}=\frac{3\cdot5}{4\cdot5}=\frac{15}{20}43=4⋅53⋅5=2015 und 25=2⋅45⋅4=820\frac{2}{5}=\frac{2\cdot4}{5\cdot4}=\frac{8}{20}52=5⋅42⋅4=208 3. Subtrahiere nun die Zähler der beiden Brüche. Der Nenner bleibt gleich.
Ergebnis: Bei gemischten BrüchenVereinfache wie bei der Addition gemischter Brüche die Darstellungsweise der gemischter Brüche, indem du die gemischten Brüche als Summe schreibt. Nun musst du aufpassen: Setze beim Ausschreiben des gemischten Bruchs Klammern! Zum Auflösen der Klammern beachte das Vorzeichen vor der Klammer. Steht vor der Klammer ein Minuszeichen, müssen beim Auflösen der Klammer die Vorzeichen innerhalb der Klammer getauscht werden! Danach subtrahiere alle ganzen Zahlen und berechne die Differenz der übrigen Brüche. BeispielBerechne 8 16−4 148\ \frac{1}{6}-4\ \frac{1}{4}8 61−4 41. 816−414\displaystyle 8\frac{1}{6}-4\frac{1}{4}861−441 ↓ Schreibe die gemischten Brüche als Summe. Setze Klammern! ===(8+16)−(4+14)\displaystyle \left(8+\frac{1}{6}\right)-\left(4+\frac{1}{4}\right)(8+61)−(4+41)↓ Löse die Klammern auf. Beachte das Vorzeichen vor der Klammer! ===8+16−4−14\displaystyle 8+\frac{1}{6}-4-\frac{1}{4}8+61−4−41↓ Subtrahiere alle ganzen Zahlen. ===8−4 + 16−14\displaystyle 8-4\ +\ \frac{1}{6}-\frac{1}{4}8−4 + 61−41===4+16−14\displaystyle 4+\frac{1}{6}-\frac{1}{4}4+61−41↓ Suche ein gemeinsames Vielfaches der Nenner der übrigen Brüche und erweitere die Brüche entsprechend. Ein gemeinsamer Nenner ist beispielweise 12. ===4+2⋅12⋅6−3⋅13⋅4\displaystyle 4+\frac{2\cdot1}{2\cdot6}-\frac{3\cdot1}{3\cdot4}4+2⋅62⋅1−3⋅43⋅1===4+212−312\displaystyle 4+\frac{2}{12}-\frac{3}{12}4+122−123↓ Subtrahiere die Zähler. Der Nenner bleibt 12. 212−312=−112\frac{2}{12}-\frac{3}{12}=-\frac{1}{12}122−123=−121 ===4−112\displaystyle 4-\frac{1}{12}4−121↓ Um wieder einen gemischten Bruch zu erhalten, löse ein ganzes von 4 ab und wandle es in einen Bruch mit dem Nenner 12 um. Wie rechnet man den gleichen Nenner aus?Rechnerisches Vorgehen. Zuerst soll das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Nenner bestimmmt werden. Dafür wendet man die Primfaktorzerlegung an. Um den Hauptnenner zu errechnen, werden dafür alle Primfaktoren der beiden Nenner so oft, wie sie bei den Zerlegungen am häufigsten vorkommen, multipliziert.
Kann man Nenner addieren?Du kannst zwei Brüche addieren, wenn sie den gleichen Nenner (untere Zahl) haben. Dazu addierst du einfach die beiden Zähler (obere Zahl). Der Nenner bleibt gleich. Aber oft musst du in Mathe Brüche plus rechnen, die verschiedene Nenner haben (ungleichnamige Brüche).
Wie nennt man zwei Brüche mit dem gleichen Nenner?Gemeine Brüche, die in ihrem Nenner übereinstimmen, heißen gleichnamig. Werden Brüche so erweitert, dass sie danach die gleichen Nenner haben, so nennt man das gleichnamig machen.
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Brüche addieren gleicher nenner
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