3 vektoren in gleicher ebene

In manchen Aufgaben hast Du nicht nur einen Vektor in einem Koordinatensystem, sondern zwei oder mehr. Hierbei ist interessant, wie diese Vektoren überhaupt zueinander stehen, ob sie in die selbe Richtung laufen oder vielleicht sogar parallel sind. Hierbei kommt die lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit ins Spiel. Das sind Begriffe aus der Geometrie von Vektoren, zu denen Du in diesem Artikel eine ausführliche Erklärung bekommst. Dabei dreht sich der Artikel um die Lineare Unabhängigkeit und Abhängigkeit von genau 3 Vektoren.

Wiederholung der Grundlagen - Vektoren

Im Namen des Artikels, "Lineare Unabhängigkeit und lineare Abhängigkeit von drei Vektoren", erkennst Du schon die Hauptcharaktere, um die sich dieser Artikel dreht, die Vektoren. Die Kenntnis von Vektoren und ihren Eigenschaften gehört zu den Grundlagen, weshalb Du im Folgenden als erstes eine kurze Wiederholung findest.

Vektoren wie sind Größen, die durch ihre Länge und ihre Richtung bestimmt sind. Grafisch können sie als Pfeile dargestellt werden.

Eine Parallelverschiebung des Vektors ändert seine Länge, Richtung und Orientierung nicht. Alle Pfeile, die parallel sind, die gleiche Länge haben und in die selbe Richtung zeigen repräsentieren denselben Vektor.

Um eine Länge und eine Richtung vorzugeben, benötigst Du einmal den Punkt, an dem der Pfeil beginnen soll, und einmal den Punkt, an dem die Spitze enden soll. Diese zwei Punkte können Punkte in der Ebene sein, oder auch Punkte im Raum (siehe Abbildung 1).

Jetzt hattest Du eine kurze Wiederholung, was Vektoren überhaupt sind. Der zweite Grundlagenteil ist die lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren. Das Verständnis dieser ist wichtig, um später Deine Vektoren auf lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit zu überprüfen.

Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit - Definition und Erklärung

Die lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren ist ein Thema in der Geometrie der Vektoren. Sie gibt Dir Auskunft darüber, wie zwei oder mehrere Vektoren im Raum zueinander stehen. Die lineare Abhängigkeit ist eine Eigenschaft, die eine gegebene Menge von Vektoren besitzt oder nicht besitzt.

Eine Menge von Vektoren heißt linear abhängig, wenn Du die Vektoren derart miteinander kombinieren kannst, dass Du zurück zum Ursprung gelangst. Das ist gleichbedeutend dazu, dass Du mindestens einen der Vektoren in Abhängigkeit der anderen Vektoren schreiben kannst.

Besitzt eine Menge von Vektoren diese Eigenschaft nicht, dann sind sie linear unabhängig.

Durch die Berechnung der linearen Abhängigkeit und Unabhängigkeit kannst Du beispielsweise erfahren, ob die Vektoren parallel sind, in eine Richtung verlaufen, oder in einer Ebene liegen.

Um die lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit berechnen zu können, ist der Begriff der Linearkombination relevant.

Der Term der Form heißt Linearkombination der Vektoren . Diese entsteht, wenn beliebige Vielfache von Vektoren addiert werden. sind dabei reelle Zahlen und werden Koeffizienten genannt.

Linearkombinationen sind in der Vektorrechnung unabdingbar und werden für die lineare Unabhängigkeit und Abhängigkeit gebraucht.

Im Artikel "Linearkombination" kannst Du das Thema nochmal nachlesen.

Wenn zwei Vektoren und parallel zueinander sind, gilt, dass ein Vektor das Vielfache eines anderen Vektors darstellt. Somit gilt:

oder

Solche Vektoren werden auch kollinear genannt.

Die Gleichung lässt sich umformen in

und durch Einsetzen von als Linearkombination schreiben:

Wenn die Linearkombination als Summe den Nullvektor ergibt, sind beide Vektoren und kollinear. Daraus kannst Du die lineare Abhängigkeit herleiten.

Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von drei Vektoren

Nun kannst Du die lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von drei Vektoren und betrachten.

Wenn drei Vektoren und in einer Ebene liegen, dann kann ein Vektor als Linearkombination der anderen beiden dargestellt werden:

Solche Vektoren heißen koplanar.

Nach der Umformung der Gleichung nach demselben Vorgehen wie bei zwei Vektoren erhältst Du wieder eine Linearkombination:

Wenn die Linearkombination als Summe den Nullvektor ergibt, sind die drei Vektoren koplanar. Daraus kannst Du wieder die lineare Abhängigkeit herleiten.

Ein Beispiel für drei linear abhängige Vektoren und , die in einer Ebene liegen, findest Du in Abbildung 4.

Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von drei Vektoren - Beweis und Prüfung

Um die lineare Abhängigkeit von drei Vektoren und zu beweisen bzw. zu prüfen, gibt es mehrere Verfahren. Im Folgenden lernst Du zwei davon kennen: die Lösung eines linearen Gleichungssystems mittels Gauß-Verfahren und die Untersuchung der Determinante.

Die Untersuchung der Determinante geht deutlich schneller, allerdings kannst Du mit diesem Verfahren nur eine Aussage darüber treffen, ob die drei Vektoren und linear abhängig oder unabhängig sind. Das Verfahren über die Lösung eines linearen Gleichungssystems dauert länger und beinhaltet mehr Schritte. Allerdings gibt es auch Aufgabentypen, wo bei linearer Abhängigkeit eine mögliche Linearkombination als Lösung angegeben werden muss. Dies ist mithilfe des Gauß-Algorithmus machbar.

Lineares Gleichungssystem lösen

Die erste Möglichkeit, um die lineare Abhängigkeit von drei Vektoren und zu beweisen, ist das Lösen eines linearen Gleichungssystems (LGS). Auch für die Lösung des LGS gibt es unterschiedliche Verfahren, wie das Additionsverfahren, das Gleichsetzungsverfahren oder den Gauß-Algorithmus. Die Kenntnis dieser Möglichkeiten ist die Voraussetzung, um drei Vektoren und auf ihre lineare Abhängigkeit zu prüfen.

Falls du Dir unsicher bist, lese gerne im Artikel "LGS lösen" nochmal nach, welche Verfahren es gibt und wie diese Verfahren funktionieren.

In diesem Artikel wird der Gauß- Algorithmus angewendet. Das Gauß-Verfahren kannst Du meist dann benutzen, wenn Du ein Gleichungssystem mit mehr als zwei Unbekannten lösen musst. Dafür ist es wichtig, dass du den Gauß-Algorithmus kennst und auch anwenden kannst.

Wenn Du nochmal nachlesen möchtest, wie das Gauß-Verfahren funktioniert und dein Wissen vertiefen willst, dann kannst du im Artikel "Gauß-Algorithmus" vorbeischauen.

Gaußsches Eliminationsverfahren

Der Gauß-Algorithmus bietet, wie eben erwähnt, die Möglichkeit, lineare Gleichungssysteme zu lösen. Diese Gleichungssysteme kannst Du aus der gegebenen Linearkombination aufstellen. Die Bedingung für die lineare Abhängigkeit ist, dass die Summe der Linearkombination den Nullvektor ergibt:

Werden die Vektoren ausgeschrieben, so ergibt sich diese Form:

Werden die Vektoren und mit den Koeffizienten und multipliziert, so wird jede Koordinate der Vektoren und mit den jeweiligen Koeffizienten multipliziert:

Daraus kann ein lineares Gleichungssystem aufgestellt werden, indem jede Zeile einzeln betrachtet wird:

Dieses Gleichungssystem kannst Du jetzt mittels des Gaußschen Eliminationsverfahren lösen. Dafür musst Du ebenfalls eine Matrix aus den drei Vektoren nach folgendem Schema aufstellen:

Drei Vektoren und sind genau dann linear abhängig, wenn die Anwendung des Gauß-Algorithmus für die Lösung des linearen Gleichungssystems zu einer Nullzeile oder -spalte führt.

Wenn es für das Gleichungssystem nur eine einzige Lösung, nämlich gibt, sind die Vektoren stattdessen linear unabhängig. Eine einzige Lösung gibt es nur, wenn das Gleichungssystem nach Anwendung des Gaußschen Eliminationsverfahrens keine Nullzeile besitzt.

Eine Nullzeile ist eine Zeile, in der nur Nullen stehen. Ebenso ist eine Nullspalte eine Spalte, in der nur Nullen stehen.

Wenn bei der Lösung des LGS eine Nullzeile entsteht, gibt es nur zwei Gleichungen, aber drei Unbekannte. Somit ist das LGS nicht mehr direkt lösbar und immer von einer Variablen abhängig. Das Gleichungssystem besitzt also unendlich viele Lösungen und deshalb ist dadurch eine lineare Abhängigkeit gegeben.

Für die Anwendung des Gauß-Algorithmus zum Beweis der linearen Abhängigkeit oder Unabhängigkeit findest Du im Folgenden zwei Beispiele zur Beschreibung des Vorgangs:

Mithilfe des Gaußschen Eliminationsverfahren soll geprüft werden, ob die Vektoren , und linear abhängig oder unabhängig sind. Dafür sind die folgenden Vektoren gegeben:

Aus der Definition der Linearkombination ergibt sich nach dem Einsetzen der gegebenen Vektoren:

Daraus kann das lineare Gleichungssystem aufgestellt werden:

Jetzt wird das Gleichungssystem ohne Koeffizienten und Rechenoperatoren in eine Ergebnismatrix geschrieben. Links vom Strich findest Du die 3x3-Matrix aus Deinen Vektoren und auf der rechten Seite Dein Ergebnis von der rechten Seite der Gleichung, 0.

Zuerst wird in der 2. Zeile der 1. Spalte die Null berechnet. In der Matrix ist zu sehen, dass in der 1. Spalte sowohl in der 1. Zeile als auch in der 2. Zeile eine 2 steht. Also kann die 1. Zeile von der 2. Zeile subtrahiert werden.

Hier ist in der zweiten Zeile schon eine Nullzeile zu sehen. Wenn bei der Durchführung des Gaußschen Eliminationsverfahren eine Nullzeile entsteht, besitzt das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen. Dann sind die Vektoren linear abhängig. Da die 2. Zeile in diesem Beispiel ausschließlich aus Nullen besteht, sind die drei Vektoren linear abhängig.

In manchen Aufgabentypen ist es nicht nur gefordert, die Vektoren auf lineare Abhängigkeit zu prüfen, sondern ebenfalls die mögliche Linearkombination anzugeben.

Linearkombination angeben

Zur Angabe der möglichen Linearkombination kannst Du das Beispiel von gerade eben weiter rechnen. Du hast die drei Vektoren

auf lineare Abhängigkeit geprüft und dafür bei der Lösung des linearen Gleichungssystem

mittels des Gauß-Algorithmus eine Nullzeile erhalten, weswegen eine lineare Abhängigkeit bewiesen ist. Um nun eine Linearkombination anzugeben, musst Du das LGS nun vollständig mit den herkömmlichen Verfahren lösen. Damit kommst Du z. B. auf das Ergebnis:

Das LGS hat unendlich viele Lösungen, weswegen und als Vielfaches von angegeben werden können. Eine allgemein mögliche Linearkombination wäre dann

und eine beispielhafte Linearkombination für wäre

Im Folgenden siehst Du ein weiteres Beispiel zur Prüfung der linearen Abhängigkeit und Unabhängigkeit.

Die folgenden Vektoren sollen auf lineare Abhängigkeit oder Unabhängigkeit geprüft werden:

Aus der Definition der Linearkombination ergibt sich nach dem Einsetzen der gegebenen Vektoren wieder:

Daraus kann das lineare Gleichungssystem aufgestellt werden:

Jetzt wird das Gleichungssystem wieder in eine Ergebnismatrix geschrieben:

Jetzt fängst Du wieder an, das LGS mittels Gauß-Verfahren zu lösen. Durch elementare Umformschritte nach dem Gaußalgorithmus kommst Du schließlich zu dieser Matrix:

Jetzt stehen in der 3. Zeile zwei Nullen. Die Null in der 3. Zeile der dritten Spalte könnte zwar durch weitereSubtraktionerreicht werden, allerdings würden sich dann die bisher errechneten Nullen wieder ändern. Eine Nullzeile ist somit nicht möglich. Die drei Vektoren sind also linear unabhängig und die einzige Lösung ist . Eine Linearkombination kann deshalb nicht angegeben werden.

Damit hast Du gerade den Beweis für die lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit mittels Gaußschen Eliminationsverfahren gelernt. Nachfolgend wirst Du ein zweites Verfahren, die Untersuchung der Determinante, lernen.

Untersuchung der Determinante

Eine Alternative zur Prüfung der linearen Abhängigkeit und Unabhängigkeit von drei Vektoren und ist die Untersuchung der Determinante, die sich aus den drei Vektoren ergibt.

Drei Vektoren und sind linear abhängig, wenn ihre Determinante ergibt.

Ergibt die Berechnung der Determinante, sind die Vektoren linear unabhängig.

Alles zum Thema Determinante kannst Du im Artikel "Determinante" nachlesen.

Da die Aufstellung und Berechnung der Determinante für die Anwendung dieser Alternative essenziell ist, hast Du hier nochmal eine kleine Wiederholung. Deine drei Vektoren werden wieder wie in einer Matrix nebeneinander aufgestellt:

Die Formel zur Berechnung der Determinante von , bezeichnet als heißt Regel von Sarrus. Der Trick dabei ist, die ersten beiden Spalten neben die Determinante zu schreiben. Die Regel von Sarrus lautet:

Zur Veranschaulichung der Regel von Sarrus sind hier die Hauptdiagonalen in verschiedenen Farben dargestellt. Nun kannst Du in Farbe die Multiplikationsdrillinge der ersten Hälfte der Determinante sehen Die Reihenfolge der Multiplikation ist von oben nach unten.

Im Folgenden sind die Nebendiagonalen in verschiedenen Farben dargestellt. So kannst Du nun wieder die Multiplikationsdrillinge der zweiten Hälfte der Determinante sehen. Die Reihenfolge der Multiplikation ist von unten nach oben.

Um nun die Identifizierung der linearen Abhängigkeit und Unabhängigkeit dreier Vektoren anhand ihrer Determinante zu veranschaulichen, findest Du im Folgenden ein Beispiel:

Gegeben sind die drei Vektoren:

Diese sollen mithilfe der Berechnung ihrer Determinante auf lineare Abhängigkeit oder Unabhängigkeit untersucht werden.

Dazu wird als erstes die Matrix aufgestellt:

Nun kann die Determinante mithilfe der Regel von Sarrus berechnet werden:

Die Determinante ist also 32 und damit gilt . Die drei Vektoren und sind also linear unabhängig.

Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von 3 Vektoren - Aufgaben

Im Folgenden findest Du drei Aufgaben, wo Du das Prüfen von linearer Abhängigkeit und Unabhängigkeit von 3 Vektoren nochmal üben kannst.

Aufgabe 1

Prüfe mithilfe des Gaußschen Eliminationsverfahren, ob die Vektoren , und linear abhängig oder unabhängig sind. Dafür sind die Vektoren gegeben:

Lösung

Aus der Definition der Linearkombination ergibt sich nach dem Einsetzen der gegebenen Vektoren:

Daraus kannst Du das lineare Gleichungssystem aufstellen:

Jetzt schreibst Du das Gleichungssystem zuerst in Deine Ergebnismatrix :

Zuerst berechnest Du in der 2. Zeile der 1. Spalte die Null. Dafür kannst Du die 1. Zeile durch 3 teilen und dann die 1. Zeile von der 2. Zeile subtrahieren.

Nun berechnest Du in der 3. Zeile der 1. Spalte die Null. Dafür kannst Du die 1. Zeile wieder durch 3 Teilen und die 1. Zeile von der 3. Zeile subtrahieren.

Nun suchst Du die Null in der 3. Zeile der 2. Spalte. Dafür kannst Du die 2. Zeile mit dem Faktor 2 multiplizieren und von zu der 3. Zeile addieren.

Hier siehst Du in der 3. Zeile nun eine Nullzeile. Somit sind die drei Vektoren linear abhängig.

Aufgabe 2

Gegeben sind die drei Vektoren:

Untersuche diese mithilfe der Berechnung ihrer Determinante auf lineare Abhängigkeit oder Unabhängigkeit.

Lösung

Dazu stellst Du als erstes die Matrix auf:

Nun kannst Du die Determinante mithilfe der Regel von Sarrus berechnen:

Die Determinante ist also 0. Die drei Vektoren und sind also linear abhängig.

Aufgabe 3

Gegeben sind die drei Vektoren:

Untersuche diese mithilfe der Berechnung ihrer Determinante auf lineare Abhängigkeit oder Unabhängigkeit.

Lösung

Dazu stellst Du als erstes die Matrix aufgestellt:

Nun kannst Du die Determinante mithilfe der Regel von Sarrus berechnen:

Die Determinante ist also 35 und damit gilt . Die drei Vektoren und sind also linear unabhängig.

Lineare Unabhängigkeit und Abhängigkeit von 3 Vektoren - Das Wichtigste

Wie prüft man ob Vektoren in einer Ebene liegen?

Wie prüft man ob 3 Vektoren linear abhängig sind?

Sind 3 Vektoren Komplanar?

Wann sind drei Vektoren linear unabhängig?