Wie bestimmt man den orientierten Flächeninhalt?

Q: Wie berechnet man den orientierten Flächeninhalt?

Möchte man den Flächeninhalt berechnen, so muss man das Integral aufteilen: in den Teil der Fläche, der oberhalb der x-Achse verläuft, und den Teil, der unterhalb verläuft. Diese integriert man dann getrennt voneinander und summiert die Beträge der einzelnen Flächeninhalte auf.

Welche Schritte muss man also immer beachten bei der Flächenberechnung zwischen zwei Funktionen?

Inhaltsverzeichnis Show

AUFGABEN AUS DEM MATHEBUCH
A.18 | Integrale und Flächeninhalte
[A.18.02] Fläche zwischen f(x) und x-Achse berechnen
[A.18.03] Fläche zwischen zwei Funktionen berechnen
[A.18.04] Fläche zwischen drei Funktionen
[A.18.05] Uneigentliche Integrale
[A.18.06] Rotationsvolumen von Funktionen um die x-Achse
[A.18.07] Mittelwert -- Durchschnittswert
[A.18.08] Dreiecksfläche Flächeninhalt berechnen
[A.18.09] Zusammengesetzte Funktion Fläche berechnen
[A.18.10] Integralfunktion Fläche berechnen
[A.18.11] A Gerade dreed sisch um de Aksä
Wie berechnet man den orientierten Flächeninhalt?
Ist das Integral der orientierte Flächeninhalt?

Guten Abend,

ich habe ein paar Fragen zu der Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven. 🙋‍♂️

Beispiel 1:

Gegeben sind ja K und G. Das man zuerst die Schnittpunkte bestimmt oder in diesem Fall den Bereich sieht, zwischen dem man zwischen der Kurve und der x-Achse die Fläche bestimmen muss, ist mir bewusst.

Dann zieht man den einen Flächeninhalt von dem anderen ab, das habe ich auch verstanden.

Aber die Schreibweise mit der Berechnung des Flächeninhaltes zwischen zwei Kurven in einem Integral (ein einziges für zwei Funktionen) habe ich noch nicht verstanden. Hierbei ergeben sich für mich folgende Fragen:

Man muss ja den Flächeninhalt der unteren Funktion abziehen, muss dann immer eine Klammer gemacht werden, wenn man beide Funktionen in ein integral einsetzt (hier bei der Aufgabe wurde meine Klammer gemacht, da es ja nur eine Sache gab)? Sonst wird ja die hintere Funktion (Flächeninhalt) ja nicht abgezogen, oder?
Ist das nicht viel komplizierter das so zu schreiben oder vereinfacht es die Rechnung wirklich? Ist es nicht viel anfälliger für Fehler (maximale Konzentration braucht man ja so oder so immer)?
Wie erkenne ich überhaupt, wenn ich zwei Funktionen habe, welche ich von der anderen abziehen muss? Dies sehe ich ja nur, wenn ich ein Schaubild habe direkt.

Die Schreibweise mit beiden Funktionen in einem integral verstehe ich noch nicht so wirklich.

Beispiel 2:

Hier soll man ja auch den Flächeninhalt innerhalb des grauen Bereichs berechnen. Da die Funktionen ja Nullstellen haben, müsste man es ja getrennt berechnen. Jedoch schiebt man das hier nach oben durch Verschiebung auf der x-Achse.

Ist das ein gängiges Verfahren?
Wie erkennt man, dass man eine Funktion nach oben/unten verschieben muss, wenn man nur eine Funktion als Text und kein Bild hätte?
Sind solche Aufgaben immer in Kombination mit einem Bild?

Hier bei der Aufgabe wurden beide Funktionen ja nach oben verschoben. Aber ich sehe die Verschiebung der Kurven garnicht in der Formel unter dem Punkt „Flächeninhaltsberechnung:“. Diese sehen für mich identisch mit den aus der Aufgabenstellung des Beispiels aus.

Wo wurden hier die Funktionen nach oben verschoben?
Ist das „+Zahl“ am Ende einer Funktion immer die Verschiebung auf der y-Achse? Das ist ja immer die Höhe, auf der es die y-Achse schneidet (außer bei der Kosinus-Funktion), oder?

Muss ich immer die Nullstellen sowie die Schnittstellen einzeln bestimmen und muss ich schauen, welche Funktion oberhalb und welche unten liegt, dass ich weiß, was ich abziehen muss von welchem Flächeninhalt?

Beispielaufgabe:

“Die Schaubilder K von f und G von g begrenzen eine Fläche.

a) f(x) = 2x - x^(2), g(x) = x - 2“

Das Bild ist von GeoGebra. Wenn ich die Aufgabe berechne, habe ich kein Bild vor mir.

Das Integral oder besser gesagt die Integralschreibweise ist nur eine Abkürzung für den orientierten Flächeninhalt, den der Graph von f mit der x-Achse und den Grenzen a und b einschließt. Also eigentlich nichts wirklich Neues! Trotzdem ist es am Anfang ein wenig knifflig, wird in diesem Video aber genau erklärt! Schaut doch mal rein…dann wird bestimmt einiges klarer! 🙂

In diesem Video wird vor allem grafisch sehr anschaulich erklärt, was man unter einem Integral versteht.

AUFGABEN AUS DEM MATHEBUCH

LEICHT:

S.80/1a,b

MITTEL:

S.80/1c
S.80/2a,b,e,f
S.80/3
S.80/4
S.80/7
S:80/9

SCHWER:

S.81/10
S.81/13
S.81/14

A.18 | Integrale und Flächeninhalte

Will man den Flächeninhalt berechnen, z.B. bei der Flächenberechnung von Schaubildern, dann kommen Integrale ins Spiel. Die Integralberechnung zählt zu den wichtigen Themen der Mathematik. Das Integral ist ein Oberbegriff für das unbestimmte und das bestimmte Integral. Die Berechnung von Integralen heißt Integration.

f(x) ist der y-Wert

f'(x) ist die Steigung

F(x) gibt die Fläche an

Ein Integral ist mehr oder weniger das Gleiche wie eine Stammfunktion. Der Unterschied liegt in der Schreibweise und darin, dass man beim Integral noch Grenzen angeben kann.
Blöd gesagt: Integral, Stammfunktion, Aufleitung ist in Mathe so ziemlich das Gleiche.
Das Wort „Aufleitung“ ist jedoch des Teufels. In Wirklichkeit gibt es dieses Wort nicht. Zwar weiß jeder, was gemeint ist, jedoch klingen die Begriffe „Integral“ oder „Stammfunktion“ für Mathematiker ohren VIEL schöner!

Wie berechnet man eine Fläche?
Es ist immer das Gleiche:
⇒ man schreibt das Integralzeichen hin.
⇒ unterhalb und oberhalb des Integralzeichens stehen immer die untere und obere Flächengrenze.
⇒ hinter dem Integralzeichen [im eigentliche Integral] stehen immer die obere und untere Funktion, die die Fläche begrenzen [es sind immer zwei Funktionen, auch wenn eine der Funktionen immer die x-Achse ist!]
⇒ zu allerletzt kommt das „dx“ [ohne wichtige Bedeutung].

kurzgefasst:

Wird eine Fläche von mehreren Funktionen eingeschlossen, muss man sie so aufteilen, dass es mehrere Flächenstücke gibt, die jeweils nur durch eine Funktion oben und eine Funktion unten begrenzt sind.

[A.18.02] Fläche zwischen f(x) und x-Achse berechnen

Beispiel a.

Welche Fläche bildet f(x) mit der x-Achse ?

Lösung:
Zuerst brauchen wir die Grenzen, also die x-Werte bei denen die Fläche links und rechts aufhört. Das sind die Nullstellen.

Flächen sind immer positiv definiert. Es gibt zum Beispiel keine Flächeninhalte von -5m². Daher kommt der Betrag.

Beispiel b.

Welche Fläche schließt f(x) = x3–9x mit der x-Achse ein ??

Lösung:
Grenzen bestimmen:
x3 – 9x = 0
x·(x2–9) = 0 ⇒ x1 = 0 x2 = -3 x3 = +3

Wir haben drei Nullstellen, es gibt also zwei Teilflächen.
[Man kann keinesfalls die Funktion direkt von -3 bis+3 integrieren]

[A.18.03] Fläche zwischen zwei Funktionen berechnen

So langsam kommen wir zum interessanten Bereich. In Prüfungsaufgaben sind nämlich fast nur Flächen zwischen mehreren Funktionen zu erwarten.

Beispiel c.
Die Funktion f(x) = 0,5x3+0,5x2–2x schließt mit der ersten Winkelhalbierenden eine mehrteilige Fläche ein.
Bestimmen Sie den entstehenden Flächeninhalt !

Lösung:
Die Fläche zwischen zwei Funktionen berechnet man immer, indem man obere minus untere Funktion rechnet und dann integriert. Die Grenzen der Fläche sind die Schnittpunkte der beiden Funktionen. Also Grenzen ausrechnen.

Die erste Winkelhalbierende hat die Gleichung: y=x. [Wichtig!!]

Spätestens wenn man wie hier drei Schnittpunkte erhält, weiß man, dass man zwei Teilflächen hat ([selbst wenn man keine Skizze/Zeichnung gemacht hat].

Beispiel d.

Die Funktion fa(x)=-2x²+ax+2a schließt mit ga(x)=x²–5ax+2a eine Fläche A(a) ein.
Bestimmen Sie a>0 so, dass A(a) einen Flächeninhalt von 13,5(LE²) annimmt.

Lösung:
Wenn man eine Fläche berechnet, braucht man die Integralgrenzen, welches die Schnittpunkte sind.
Daher schneiden wir fa(x) und ga(x).
Dummerweise kann man die Funktionen nicht richtig zeichnen, da die Parameter a drinstecken. Man kann natürlich für a eine beliebige Zahl einsetzen und die Funktionen dann vom GTR zeichnen lassen. So kriegt man immerhin ein grobes Gefühl, wie das Ganze aussieht. Natürlich darf man nichts [keine Schnittpunkte oder Flächen] dem GTR entnehmen!

[A.18.04] Fläche zwischen drei Funktionen

Wir sind ja jetzt bereits die absoluten Superintegratoren und wissen, dass man immer obere Funktion minus untere Funktion rechnen muss.
Was passiert aber, wenn man unten [oder oben] zwei Funktionen hat, so dass die Fläche von insgesamt drei Funktionen eingeschlossen wird ?

Man muss eben diese Fläche derart in zwei Teilflächen aufspalten, dass man in jeder Teilfläche oben nur eine und unten auch nur eine begrenzende Funktion hat. Die Grenzen der Flächen sind die Schnittpunkte von jeweils zwei Funktionen: ( x1=f∩g x2=g∩h x3=f∩h )

Beispiel e.

Die Tangente an f(x) = x3–8x2+15x im Punkt B(1|8) schließt mit f(x) und der x-Achse eine Fläche ein. Bestimme den entstehenden Flächeninhalt.

Lösung:
Die Fläche wird oben durch die Tangente begrenzt. [Soweit kein Problem]
Unten: links von der y-Achse wird die Fläche von der x-Achse begrenzt, rechts von der y-Achse ist f(x) die untere Grenze. Es entstehen also zwei Teilflächen. Links von der y-Achse ist die eine, auf der rechten Seite der y-Achse ist die andere Teilfläche.
Die Teilfläche links von der y-Achse ist ein Dreieck. Diese Dreiecksfläche haben wir bereits in Beispiel e. berechnet.

[A.18.05] Uneigentliche Integrale

Das ist ein uneigentliches Integral. Die Fläche geht entlang der x-Achse ins Unendliche.

Das ist auch ein uneigentliches Integral. Die Fläche geht entlang der x-Achse ins Unendliche.

Uneigentliches Integral. Beeindruckender Name. Allerdings sind uneigentliche Integrale wie pubertierende Vierzehnjährige. Sie tun nur so, als ob sie Angst einjagen könnten. In Wirklichkeit steckt nicht viel dahinter. Uneigentliche Integrale sind einfach nur Flächeninhalte, die auf der einen Seite unendlich dünn und lang sind, auf einer Seite also von +∞ oder -∞ begrenzt sind.
Uneigentliche Integrale tauchen also immer zwischen Funktionen und deren Asymptoten auf.
Da ganzrationale Funktionen [=Polynome] keine Asymptoten haben, betrachten wir in diesem Unter kapitel ausnahmsweise Bruch-Funktionen und Expo nential-Funktionen. [Wenn Sie Glück haben, dürfen Sie also dieses Kapitel überspringen.]

[A.18.06] Rotationsvolumen von Funktionen um die x-Achse

Wenn sich eine Funktion um die x-Achse dreht, entsteht normalerweise kein Körper, der einen Namen hat, also kein Zylinder oder Kegel oder so … [(Ausnahmen sind in den nächsten Unterkapiteln beschrieben]. Es entstehen normalerweise nur komische Rotationsgebilde. Mathematiker nennen sie „Rotationskörper“.

Für das Volumen des entstehenden Rotationskörper gilt dabei die Formel:

a und b sind hierbei die linke und rechte x-Grenzen, wo der Rotationskörper beginnt bzw. endet.
Zu beachten: Die Funktion muss zuerst quadriert werden und erst das Ergebnis integriert werden !!

Beispiel i.
Die Funktion f(x) = -x²+4 bildet mit der x-Achse eine Fläche, die um die x-Achse rotiert. Bestimmen Sie das entstehende Volumen.

Lösung:
Eigentlich wenden wir stupide die Formel an. Das einzige Problem ist, dass wir die Grenzen a und b noch nicht kennen.
Laut Skizze endet der Rotationskörper links und rechts an den Nullstellen der Funktion. Also berechnen wir erst die Nullstellen:

[LE³ sind Längeneinheiten hoch 3 (also cm³ oder so). Statt LE³ kann man auch VE (=Volumeneinheiten) schreiben.]

Vergleichen Sie ihr Ergebnis mit der Formel für das Kugelvolumen.

Lösung:
Selbstverständlich hätte man die obige Aufgabe auch verständlich formulieren können. Aber das hätte uns, Pseudointelektuellem, keinen Kick gegeben.
Die Funktion

beschreibt einen Halbkreis [mit dem Radius „r“]. Man nennt sie in der Mathematik auch Halbkreisfunktion. Jede(r), dessen Hirn noch freie Speicherkapazität hat, kann es sich ja merken, ansonsten ist es nicht absolut lebensnotwendig.

Wir gehen bei dieser Aufgabe also so vor:
Zuerst lassen wir uns vom Taschenrechner eine Skizze machen. [Für „r“ irgendeine Zahl einsetzen]. Damit wissen wir ungefähr wie die Funktion aussieht.
Die Integrationsgrenzen a und b sind wieder die Nullstellen der Funktion, da der Rotationskörper „Hugo“ bei den Nullstellen endet.
Also berechnen wir zuerst die Nullstellen von fr(x).

[A.18.07] Mittelwert -- Durchschnittswert

Den Mittelwert (oder Durchschnitt) einer Funktion berechnet man mit der Mittelwertsformel.
Im Prinzip braucht man einfach nur das Integral, vor welches man noch den Bruch 1/b-a setzt.
a und b sind hierbei die linke und die rechte x-Grenze.

Beispiel i.
Bestimmen Sie den durchschnittlichen Funktionswert von f(x) = x³ – 6x² + 9x im Intervall I = [-1 ; 4 ].

Lösung:
Die Intervallgrenzen sind auch unsere Integralgrenzen.
Es gilt also: a=-1; b=4
Um den Mittelwert m zu berechnen, setzt man einfach in die Mittelwertsformel ein:

Beispiel j.

Durch T(t) = -0,1t² + 6t wird die Temperatur in einem Backofen beschrieben.
Bestimmen Sie die durchschnittliche Temperatur im Zeitraum von t1=5 bis t2=45 !

Lösung:
Die durchschnittliche Temperatur berechnet man über:

[A.18.08] Dreiecksfläche Flächeninhalt berechnen

Beispiel k. [ umgewandeltes Beispiel e.]

Die Tangente an die Funktion f(x) = x3–8x2+15x im Punkt B( 1 | 8 ) schließt mit den Koordinatenachsen eine Fläche ein.

Wie groß ist sie ?

Lösung:
Nun isses ja so: Wenn eine Tangente [welche eine Gerade ist] mit den Koordinatenachsen eine Fläche bildet, dann ist das ja eine Dreiecksfläche. Und die müssen wir nicht zwingend mit dem Integral berechnen wir, sondern können sie mit der Dreiecksformel berechnen.

Zuerst ableiten: f'(x) = 3x2 – 16x + 15,
Steigung berechnen: mT = f'(1) = 3·1²–16·1+15 = 2,
dann Tangentengleichung aufstellen.

Möglichkeit 1, über Tangentenformel:
yTan = f'(u)·(x–u)+f(u) = f'(1)·(x–1)+f(1) = 2·(x–1)+8 ⇒ yTan = 2x + 6

Möglichkeit 2, über y = mx+b
x=1, y=8, m=f'(1)=2 [x, y und m in y=mx+b einsetzen]
y = m·x+b ⇒ 8 = 2·1+b ⇒ b=6 ⇒ yTan = 2x + 6

Die Grundlinie des Dreiecks wird durch den Schnittpunkt Sx der Tangente mit der x-Achse bestimmt, die Höhe durch den Schnittpunkt Sy mit der y-Achse. Also Schnittpunkte ausrechnen.

Tangente ∩ x-Achse:
y = 0 ⇒ 2x+6 = 0 ⇒ x = -3 ⇒ Sx(-3 | 0 )

Tangente ∩ y-Achse:
x = 0 ⇒ y = 2·0+6 ⇒ y =+6 ⇒ Sy( 0 | 6 )

Nun können wir die Dreiecksfläche berechnen
[ g = Abstand von Sx zum Ursprung = 3,
h = Abstand von Sy zum Ursprung = 6 ]

[A.18.09] Zusammengesetzte Funktion Fläche berechnen

Beispiel m.

f(x) bildet mit der x-Achse eine Fläche. Bestimme ihren Inhalt.

Lösung:
Eine zusammengesetzte Funktion besteht immer aus zwei oder mehreren Funktionen, die jeweils nur in einem bestimmten Bereich gültig sind.
In diesem Fall geht es um die Parabel y1=-x²+4, die nur links von x=1 gültig ist und die Gerade y2=-x+4, die nur rechts von x=1 gültig ist.
Zuerst zeichnen wir beide Funktionen in ihrem jeweils gültigen Bereich, danach berechnen wir beide Nullstellen.
-x2+ 4 = 0 ⇒ x1=2 x2=-2 ⇒ N1(-2|0) [ x=+2 interessiert nicht, da nur x<1 interessant ist]
-x+4 = 0 ⇒ x = 4 ⇒ N2(4|0)

[A.18.10] Integralfunktion Fläche berechnen

Eine Integralfunktion ist einfach nur ein stinknormales Integral, in welchem die obere [oder untere] Grenze nicht als Zahl angegeben wird, sondern als Parameter.

Nehmen wir als Beispiel die Funktion f(x) = 3x²–6x+5
Die Stammfunktion davon ist ja F(x) = x³–3x²+5x

Wenn ich nun die Fläche bestimmen will, die f(x) mit der x-Achse in den Grenzen von x=1 bis x=5 einschließt, berechne ich:

Beispiel n.

Sei f(x) = x²+4x+3 gegeben, sowie

Bestimme die Nullstellen und Extremstellen von I(x).

Lösung:
Erst `mal kann man die Integralfunktion ausschreiben [wenn man will].

Nullstellen:
Eine Nullstelle von I(x) kennt man sofort, denn die untere Grenze der Integralfunktion ist immer eine Nullstelle. In diesem Fall ist die untere Grenze „0“, daher ist x=0 tatsächlich eine Nullstelle von I(x). Leider bringt das in diesem Fall nichts, denn setzt man I(x)=0, kommt x=0 sowieso als Lösung raus.
      I(x)   = 0
1/3x³+2x²+3x = 0               | · 3
x³+6x²+9x      = 0                   „x“ ausklammern
x·(x²+6x+9)    = 0
    ⇒        x1=0   oder   x²+6x+9=0     ⇒       x2,3 =...=-3 (@)
Die Nullstellen von I(x) sind bei x=0 und x=-3

Zu den Extremstellen von I(x)
Wenn man die Nullstellen von f(x) wüsste, wäre man bereits fertig, denn die Extremstellen der Integralfunktion sind die Nullstellen der Funktion. Da wir die Nullstellen von f(x) nicht kennen, können wir die Extrema ganz normal berechnen [über die Ableitung von I(x)].
I(x)= ⇒ I'(x)=x²+4x+3 ←natürlich ist I'(x)=f(x) !
I'(x)=0 ⇒ x²+4x+3=0 ⇒ x1=-1 x2=-3 (@)
Die Extremstellen von I(x) sind bei x=-1 und x=-3. [y-Werte waren nicht gefragt, wegen Extremstellen].

Beispiel o.

[A.18.11] A Gerade dreed sisch um de Aksä

Wenn sich eine Gerade um die x-Achse dreht, vereinfacht sich die Sache deutlich, denn nun entsteht im kompliziertesten Fall ein Kegelstumpf, im Normalfall ein Zylinder oder Kegel. Die Sache ist bei Gerade derart einfach, dass man das Gerät nun auch um die y-Achse drehen könnte, ohne dass die Aufgabe schwieriger wird.

Beispiel p.

Rotiert die Gerade y=1/2x +2 innerhalb der Grenzen x=-4 und x=3 um die x-Achse, entsteht ein Körper namens Berta.

a) Bestimmen Sie Bertas Volumen.
b) Die Gerade bildet mit beiden Achsen ein Dreieck, dass um die y-Achse rotiert.
Bestimmen Sie das Volumen dieses Rotationskörpers. [Zufällig heißt er „Sidonia“.]

Diese Funktion war natürlich sehr einfach. Vor allem bei komplizierteren Funktion geht diese letzte Methode, Möglichkeit 2), meist deutlich schneller, als die erste. Also Merkzettel schreiben und merken!

Lösung
b)

Diesmal rotiert die Gerade [oder Fläche, falls diese Vorstellung besser ist] um die y-Achse. Man muss das Problem also als Kegelvolumen betrachten [es sei denn, man kennt die etwas kompliziertere Formel der Rotation von Funktionen um die y-Achse].
Also, wenn dieses wirklich überaus interessante Dreieck um die y-Achse rotiert, entsteht ein Kegel, dessen Symmetrieachse die y-Achse ist.
Der Radius des Kegels ist r=4 [Die Gerade schneidet die x-Achse bei x=-4!]
Die Höhe des Kegels ist h=2 [Die Gerade schneidet die y-Achse bei y=2!]

[LE³ sind Längeneinheiten hoch 3 (also cm³ oder so). Statt LE³ kann man auch VE (=Volumeneinheiten) schreiben.]

Wie berechnet man den orientierten Flächeninhalt?

Möchte man den Flächeninhalt berechnen, so muss man das Integral aufteilen: in den Teil der Fläche, der oberhalb der x-Achse verläuft, und den Teil, der unterhalb verläuft. Diese integriert man dann getrennt voneinander und summiert die Beträge der einzelnen Flächeninhalte auf.

Ist das Integral der orientierte Flächeninhalt?

Das Integral oder besser gesagt die Integralschreibweise ist nur eine Abkürzung für den orientierten Flächeninhalt, den der Graph von f mit der x-Achse und den Grenzen a und b einschließt.