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Immer und überall wird in der Kosmetik vom pH-Wert gesprochen. Aber was ist denn ein pH-Wert überhaupt? Und wie kann der Dir helfen, Deine Kosmetik auszuwählen? Die Haut ist unser größtes Organ und ist allen möglichen Umweltbelastungen ausgesetzt. Sie hat die überaus wichtige Aufgabe uns vor äußeren Einflüssen zu schützen. Hierfür ist ein gesunder Säureschutzmantel der Haut besonders wichtig. Der wehrt nämlich schädliche Schadstoffe und Mikroorganismen ab und schützt uns so vor Infektionen. Die Bedeutung des pH-Wert „pH“ steht für „potentia hydrogenii“ und wird für die chemische Unterscheidung von Säuren und Basen und die Kennzeichnung dessen Stärke verwendet. Dann gibt es da noch diesen Begriff „pH-neutral“. Scheint ja was tolles zu sein, wenn auf Produkten extra ausgelobt wird. Aber was heißt das denn genau? Also Wasser ist beispielsweise eine pH-neutrale Flüssigkeit. Es reagiert weder sauer noch basisch und hat einen pH-Wert von 7. Der pH-Wert von Säuren ist niedriger und der von Basen höher – je mehr der pH-Wert von 7 abweicht, desto stärker die Reaktion der Flüssigkeit. Die gesamte pH-Skala reicht von 0 bis 14, wobei 0 sauer und 14 basisch ist. Sobald sich der pH-Wert an den Rändern dieser Skala (also bei 0-2 oder 12-14) bewegt, bedeutet das, dass diese Flüssigkeit ätzend und somit super schädlich für unsere Haut ist. pH-neutral vs. pH-hautneutral Gut, und woher weiß ich jetzt, welchen pH-Wert ein Produkt haben darf, um für meine Haut geeignet zu sein? Das ist relativ simpel: Auch unserer Haut kann ein pH-Wert zugeordnet werden. Der kann zwar je nach Person, Alter, Geschlecht und auch Körperteil variieren, liegt aber normalerweise zwischen 4.1 und 5.7. Daran erkennen wir, dass unsere Haut leicht sauer ist. Das wiederum liegt an körpereigenen Substanzen wie Schweiß und Talg, welche ständig produziert werden und einen leicht sauren pH-Wert haben. Produkte, die als pH-Hautneutral gekennzeichnet sind, sind in dem Sinne also nicht pH-neutral, sondern dem natürlichen pH-Wert der Haut angepasst. Klingt kompliziert, ist aber eigentlich ganz logisch. Warum pH-hautneutral wichtig ist Wie schon erwähnt hat unsere Haut einen Säureschutzmantel, der uns vor Krankheiten schützt. Allerdings wird dieser, wenn wir uns mit kosmetischen Produkten waschen, strapaziert. Normalerweise kann gesunde Haut das aber easy peasy verkraften und regeneriert ihren natürlichen Schutz innerhalb von ca. einer Stunde wieder von selbst. Wenn man jetzt aber eh schon irritierte, gereizte oder empfindliche Haut hat, kann dieser Prozess unter Umständen auch mal etwas länger dauern. Na toll, aber waschen muss man sich ja. Und Wasser allein reicht nicht um alle, im Laufe des Tages angesammelten Keime, Schmutzteilchen und abgestorbene Hautzellen zu entfernen. Um den Säure-Basen-Haushalt der Haut im Gleichgewicht zu halten, ist es wichtig Reinigungs- und Pflegeprodukte zu wählen, die auf unseren Hauttyp abgestimmt sind. Milde Produkt mit pH-hautneutralen Pflegeformeln sind zum Beispiel bei sensibler Haut besonders wichtig. Das bedeutet, der pH-Wert sollte der Haut angepasst sein und in etwa zwischen 4,1 und 5,8 liegen. Haare waschen mit Köpfchen Ja, auch für unsere Kopfhaut ist es wichtig den pH-Wert zu beachten. Verliert die Kopfhaut nämlich ihren natürlichen Schutz, sind Schuppen und Juckreiz nicht weit entfernt. Daher ist es auch bei Shampoos wichtig, auf einen niedrigen pH-Wert zu setzen – dann kann das Shampoo den Unterschied zum pH-Wert des Wassers ausbalancieren und somit den Säureschutzmantel der Kopfhaut sichern. Die logarithmische Normalverteilung (kurz Log-Normalverteilung) ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung für eine Variable, die nur positive Werte annehmen kann. Sie beschreibt die Verteilung einer Zufallsvariablen , wenn die mit dem Logarithmus transformierte Zufallsvariable normalverteilt ist. Sie bewährt sich als Modell für viele Messgrößen in Naturwissenschaften, Medizin und Technik, beispielsweise für Energien, Konzentrationen, Längen und Mengenangaben. In Analogie zu einer normalverteilten Zufallsvariablen, die nach dem zentralen Grenzwertsatz als Summe vieler verschiedener Zufallsvariablen aufgefasst werden kann, entsteht eine logarithmisch normalverteilte Zufallsvariable durch das Produkt vieler positiver Zufallsvariablen. Somit ist die Log-Normalverteilung die einfachste Verteilungsart für multiplikative Zufallsprozesse. Da multiplikative Gesetze in den Naturwissenschaften, der Ökonomie und der Technik eine größere Rolle spielen als additive, ist die Log-Normalverteilung in vielen Anwendungen diejenige, die der Theorie am besten entspricht – der zweite Grund, weshalb sie vielfach anstelle der gewöhnlichen, additiven Normalverteilung verwendet werden sollte. Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Erzeugung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Wenn eine standardnormalverteilte Zufallsvariable ist, dann ist log-normalverteilt mit den Parametern und , geschrieben als . Alternativ können als Parameter die Größen und verwendet werden. ist ein Skalen-Parameter. oder ebenso bestimmt die Form der Verteilung. Wenn log-normalverteilt ist, dann ist auch log-normalverteilt, und zwar mit den Parametern und respektive und . Ebenso ist log-normalverteilt, mit den Parametern und respektive und . Dichtefunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Eine stetige, positive Zufallsvariable unterliegt einer logarithmischen Normalverteilung mit den Parametern und , wenn die transformierte Zufallsvariable einer Normalverteilung folgt. Ihre Dichtefunktion ist dann .Verteilungsfunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Damit hat die Log-Normalverteilung für die Verteilungsfunktion ,wobei die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung bezeichnet. Die Verteilungsfunktion der logarithmischen Normalverteilung erscheint auf logarithmisch geteiltem Wahrscheinlichkeitspapier als Gerade. Mehrdimensionale log-Normalverteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Sei ein mehrdimensional (oder multivariat) normalverteilter Zufallsvektor. Dann ist (d. h. ) multivariat log-normalverteilt. Die mehrdimensionale Log-Normalverteilung ist viel weniger bedeutsam als die eindimensionale. Deshalb bezieht sich der nachfolgende Text fast ausschließlich auf den eindimensionalen Fall. Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Quantile[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Ist das p-Quantil einer Standardnormalverteilung (d. h. , wobei die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung sei), so ist das p-Quantil der Log-Normalverteilung gegeben durch .Median, multiplikativer Erwartungswert[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Der Median der logarithmischen Normalverteilung beträgt demnach . Er wird auch multiplikativer oder geometrischer Erwartungswert genannt (vgl. geometrisches Mittel). Er ist ein Skalen-Parameter, da gilt. Multiplikative Standardabweichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]In Analogie zum multiplikativen Erwartungswert ist die multiplikative oder geometrische Standardabweichung. Sie bestimmt (ebenso wie selbst) die Form der Verteilung. Es gilt . Da das multiplikative oder geometrische Mittel einer Stichprobe von lognormalen Beobachtungen (siehe „Parameterschätzung“ unten) selbst log-normalverteilt ist, kann man seine Standardabweichung angeben, sie beträgt . Erwartungswert[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Der Erwartungswert der logarithmischen Normalverteilung beträgt .Modus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Der Modus, also der häufigste Wert der Verteilung bzw. der Wert, für den die Verteilungsfunktion ihr Maximum annimmt, beträgt für die logarithmische Normalverteilung .Varianz, Standardabweichung, Variationskoeffizient[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Die Varianz ergibt sich zu .Für die Standardabweichung ergibt sich .Aus Erwartungswert und Varianz erhält man unmittelbar den Variationskoeffizienten .Schiefe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Die Schiefe ergibt sich zu d. h., die Log-Normalverteilung ist rechtsschief. Je größer die Differenz zwischen Erwartungswert und Median, desto ausgeprägter ist i. a. die Schiefe einer Verteilung. Hier unterscheiden sich diese Parameter um den Faktor . Die Wahrscheinlichkeit für extrem große Ausprägungen ist also bei der Log-Normalverteilung mit großem hoch. Momente[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Es existieren alle Momente und es gilt: .Die momenterzeugende Funktion und die charakteristische Funktion existieren für die Log-Normalverteilung nicht in expliziter Form. Entropie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Die Entropie der logarithmischen Normalverteilung (ausgedrückt in nats) beträgt .Multiplikation von unabhängigen, log-normalverteilten Zufallsvariablen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Multipliziert man zwei unabhängige, log-normalverteilte Zufallsvariable und , so ergibt sich wieder eine log-normalverteilte Zufallsvariable mit den Parametern und , wobei . Entsprechendes gilt für das Produkt von solchen Variablen. Grenzwertsatz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Das geometrische Mittel von unabhängigen, gleich verteilten, positiven Zufallsvariablen zeigt für genähert eine Log-Normalverteilung, die immer mehr einer gewöhnlichen Normalverteilung gleicht, da abnimmt. Erwartungswert und Kovarianzmatrix einer mehrdimensionalen Log-Normalverteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Der Erwartungswert-Vektor ist und die Kovarianzmatrix [1]Beziehungen zu anderen Verteilungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Beziehung zur Normalverteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Der Logarithmus einer logarithmisch normalverteilten Zufallsvariablen ist normalverteilt. Genauer: Ist eine -verteilte reelle Zufallsvariable (d. h. normalverteilt mit Erwartungswert und Varianz ), so ist die Zufallsvariable log-normalverteilt mit diesen Parametern und . Wenn und damit geht, geht die Form der Log-Normalverteilung gegen diejenige einer gewöhnlichen Normalverteilung. Verteilung mit schweren Rändern[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Die Verteilung gehört zu den Verteilungen mit schweren Rändern. Parameterschätzung und Statistik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Parameterschätzung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Die Schätzung der Parameter aus einer Stichprobe von Beobachtungen erfolgt über die Bestimmung von Mittelwert und (quadrierter) Standardabweichung der logarithmierten Werte: . Die Schätzung der multiplikativen Parameter erfolgt durch und . ist das geometrische Mittel. Seine Verteilung ist log-normal mit multiplikativem Erwartungswert und geschätzter multiplikativer Standardabweichung (besser als multiplikativer Standardfehler bezeichnet) . Wenn keine Einzelwerte vorliegen, sondern nur der Mittelwert und die empirische Varianz der nicht logarithmierten Werte bekannt sind, erhält man passende Parameterwerte über oder direkt .Statistik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Allgemein erfolgt die statistische Analyse von log-normalverteilten Größen am einfachsten und Erfolg versprechendsten so, dass die Größen logarithmiert werden und auf diese transformierten Werte die Methoden verwendet werden, die auf der gewöhnlichen Normalverteilung beruhen. Im Bedarfsfall werden dann die Ergebnisse, beispielsweise Vertrauens- oder Vorhersage-Intervalle, in die ursprüngliche Skala zurücktransformiert. Grundlegendes Beispiel dafür ist die Berechnung von Streuungs-Intervallen. Da für eine gewöhnliche Normalverteilung in einem Bereich von etwa 2/3 (genauer 68 %) und in 95 % der Wahrscheinlichkeit enthalten sind, gilt für die Log-Normalverteilung: Das Intervall enthält 2/3und das Intervall enthält 95 %der Wahrscheinlichkeit (und also etwa diese Prozentzahl der Beobachtungen einer Stichprobe). Die Intervalle können in Analogie zu als und notiert werden. In graphischen Darstellungen (untransformierter) Beobachtungen sollten deshalb solche asymmetrische Intervalle gezeigt werden.[2][3] Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Variation in vielen natürlichen Phänomenen lässt sich gut mit der Log-Normalverteilung beschreiben. Dies kann erklärt werden durch die Vorstellung, dass kleine prozentuale Abweichungen zusammenwirken, die einzelnen Effekte sich also multiplizieren. Bei Wachstumsprozessen ist dies besonders naheliegend. Zudem bestehen die Formeln für die meisten grundlegende Naturgesetze aus Multiplikationen und Divisionen. Auf der logarithmischen Skala ergeben sich dann Additionen und Subtraktionen, und der entsprechende Zentrale Grenzwertsatz führt zur Normalverteilung – zurücktransformiert auf die ursprüngliche Skala also zur Log-Normalverteilung. Diese multiplikative Version des Grenzwertsatzes ist auch als Gesetz von Gibrat bekannt. Robert Gibrat (1904–1980) formulierte es für Unternehmen.[4] In einigen Wissenschaften ist es üblich, Messgrößen in Einheiten anzugeben, die durch Logarithmieren einer gemessenen Konzentration (Chemie) oder Energie (Physik, Technologie) erhalten werden. So wird der Säuregrad einer wässerigen Lösung durch den pH-Wert gemessen, der als negativer Logarithmus der Wasserstoffionen-Aktivität definiert ist. Eine Lautstärke wird in Dezibel (dB) angegeben, das , wobei das Verhältnis des Schalldruckpegels zu einem entsprechenden Referenzwert ist. Analoges gilt für andere Energie-Pegel. In der Finanzmathematik wird ebenfalls oft direkt mit logarithmierten Größen (Preisen, Kursen, Erträgen) gerechnet, siehe unten. Für solche „bereits logarithmierte“ Größen ist dann die gewöhnliche Normalverteilung oft eine gute Wahl; also wäre hier, wenn man die ursprünglich gemessene Größe betrachten wollte, die Log-Normalverteilung geeignet. Generell eignet sich die Log-Normalverteilung für Messgrößen, die nur positive Werte annehmen können, also Konzentrationen, Massen und Gewichte, räumliche Größen, Energien usw. Die folgende Liste zeigt mit Beispielen die breite Palette der Anwendungen der Log-Normalverteilung.
Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Was ist Unterschied zwischen ln und log?Die Taste LOG steht herstellerübergreifend für den Logarithmus zur Basis 10, LN berechnet den natürlichen Logarithmus zur Basis e. Darüber hinaus ist als zweite Belegung der jeweiligen Tasten die entsprechende Umkehrfunktion vorgesehen (gelbe Beschriftung jeweils oberhalb), die Exponentialfunktion zur Basis 10 oder e.
Welcher log ist ln?Der natürliche Logarithmus ist eigentlich nur ein Spezialfall vom allgemeinen Logarithmus . Er hat als sogenannte Basis die Eulersche Zahl e. Er wird als ln geschrieben.
Warum ln statt log?Die ln-Funktion ist die Umkehrfunktion zur e-Funktion. Wenn du sowas hast wie ln(e3) dann heben sich der ln und die e-Funktion auf (sogesagt "kürzen" sie sich weg) und dann bleibt nur noch 3 stehen. log bedeutet normalerweise auf dem Taschenrechner log10x , d.h zur Basis 10.
Was ist der Unterschied zwischen LG und log?lg ist die Kurzschreibweise für log10 . Die Basis des Logarithmus ist 10 (griechisch „deka“), daher wird er auch „Zehnerlogarithmus“ genannt.
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Was ist der unterschied zwieschen log und len
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