Warum ist der Quader ein besonderer Prisma?

Das Prisma ist ein geometrischer Körper. Andere dreidimensionale Körper, die du vielleicht schon kennst, sind zum Beispiel die Kugel , der Zylinder oder der Quader . Allerdings bezeichnest du mit „Prismen“ in der Geometrie nicht nur einen ganz speziellen Körper, sondern gleich eine ganze Gruppe.

Alle Körper, die du auf dem Bild siehst, sind Prismen. Was haben diese Prismen also gemeinsam?

Bei jedem dieser Körper kannst du dir vorstellen, dass die Fläche, auf der der Körper steht, entlang einer geraden Linie verschoben wird. Dasselbe Vieleck, auf dem das Prisma steht, begrenzt es also auch oben.

Die Fläche, auf der das Prisma steht, wird Grundfläche genannt. Die Fläche, die das Prisma nach oben hin begrenzt, wird Deckfläche genannt. Alle Seitenflächen zusammen werden als Mantel bezeichnet.

Vorsicht: Manchmal werden Prismen auch so abgebildet, dass sie nicht auf ihrer Grundfläche stehen, sondern auf einer ihrer Seitenflächen.

Die Seiten der Grundfläche und der Deckfläche werden Grundkanten genannt. Die Strecken, die jeweils zwei zusammen gehörige Eckpunkte von Grund- und Deckfläche verbinden, werden Mantellinien genannt. Alle Mantellinien sind gleich lang und parallel zueinander.

Ein Prisma ist ein geometrischer Körper, der sich aus einer Grundfläche, einer Deckfläche und einem Mantel zusammensetzt.

• Die Grundfläche und die Deckfläche bestehen aus Vielecken, die kongruent und parallel zueinander sind.
• Der Mantel besteht aus Parallelogrammen.

Ecken, Kanten und Flächen eines Prismas

Wir betrachten ein Prisma, das ein Vieleck mit n Ecken als Grundfläche hat. Für n kannst du dabei 3, 4, 5, ... einsetzen. Ein solches Prisma wird n-seitiges Prisma genannt.

Anzahl der Ecken

Ein n-seitiges Prisma hat insgesamtEcken, denn es besitzt

• die n Ecken der Grundfläche und
• die n Ecken der Deckfläche.

Anzahl der Kanten

Ein n-seitiges Prisma besitzt

• n Grundkanten der Grundfläche,
• n Grundkanten der Deckfläche und
• n Mantellinien.

Insgesamt hat es alsoKanten.

Flächen

Die Anzahl der Kanten der Grundfläche entspricht der Anzahl der Seitenflächen. Ein n-seitiges Prisma hat also

• n Seitenflächen,
• eine Grundfläche und
• eine Deckfläche.

Ein n-seitiges Prisma hat immerFlächen.

Besondere Prismen – Schrägbild

Im Folgenden lernst du verschiedene spezielle Prismen kennen.

Gerades und schiefes Prisma

Es wird zwischen geraden und schiefen Prismen unterschieden. Im Beispiel siehst du ein gerades Prisma (blau) und ein schiefes Prisma (orange).

Bei einem geraden Prisma wird die Grundfläche sozusagen nur nach oben verschoben.

Bei einem geraden Prisma verlaufen die Mantellinien senkrecht zu den Grundkanten.

Die Seitenflächen sind dann Rechtecke.

Bei einem schiefen Prisma wird die Grundfläche schräg verschoben.

Bei einem ungeraden Prisma verlaufen die Mantellinien nicht senkrecht zu den Grundkanten.

Die Seitenflächen sind dann Parallelogramme

Reguläres Prisma

Eine weitere spezielle Form von Prismen sind die regulären Prismen.

Ein reguläres Prisma ist ein gerades Prisma, das ein regelmäßiges Vieleck als Grundfläche hat.

Ein regelmäßiges Vieleck ist ein Vieleck, bei dem alle Seitenlängen gleich lang und alle Innenwinkel gleich groß sind.

Im Folgenden findest du drei Beispiele für reguläre Prismen:

• Die Grundfläche eines dreiseitigen regulären Prismas ist ein regelmäßiges Dreieck, das auch als gleichseitiges Dreieck bezeichnet wird.
• Die Grundfläche eines vierseitigen regulären Prismas ist ein regelmäßiges Viereck, das auch als Quadrat bezeichnet wird.
• Ein vierseitiges, reguläres Prisma wird auch als Quader bezeichnet.

Auch ein Würfel ist ein reguläres, vierseitiges Prisma, das als Grundfläche ein Quadrat hat und dessen Höhe der Länge des Quadrats entspricht.

Volumen eines Prismas berechnen – Formel

Diese allgemeine Formel zur Berechnung des Volumens eines Prismas gilt für gerade, schiefe, regelmäßige und nicht regelmäßige Prismen.

Das Volumen eines Prismas wird berechnet, indem die Grundfläche G mit der Höhe h multipliziert wird:

.

Die Grundfläche G kann bei einem Prisma sehr unterschiedliche Formen annehmen, wie zum Beispiel Dreieck, Trapez, Quadrat oder Rechteck. Deswegen musst du immer darauf achten, dass du die richtige Grundflächenformel einsetzt.

Mit der Höhe h eines Prismas wird der Abstand der beiden Ebenen bezeichnet, in denen die Grund- und die Deckfläche liegen.

Bei einem geraden Prisma entspricht die Höhe der Länge einer Mantellinie. Bei einem schiefen Prisma hingegen entspricht die Höhe des Prismas dem Abstand der Deckfläche zur Ebene der Grundfläche.

Dies kannst du auch in Abbildung 5 sehen.

Schau dir beispielhaft die Volumenberechnung eines dreiseitigen Prismas an:

Aufgabe

Gegeben ist ein dreiseitiges gerades Prisma. Die Grundseite des Dreiecks ist lang. Die Höhe des Dreiecks beträgt und die Höhe des Prismas beträgt .

Berechne das Volumen des beschriebenen Prismas.

Lösung

In diesem Beispiel ist die Grundfläche des Prismas ein Dreieck. Die Grundfläche wird deshalb auch mit der Flächeninhaltsformel für das Dreieck berechnet:

Die Höhe kannst du den Angaben direkt entnehmen und dann das Volumen des Prismas berechnen:

Das Volumen des Prismas ist also.

Wenn du mehr über die Berechnung des Oberflächeninhalts von Prismen erfahren möchtest, dann kannst du im Artikel "Oberflächeninhalt Prisma" nachlesen.

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