Warum ist 1-sinx 2 gleich

Die Additionstheoreme führen die Berechnung der Winkelfunktionen für die Summe bzw. Differenz von Argumenten auf die Berechnung der Winkelfunktionen für die ursprünglichen Werte zurück. Wenn man den Sinus und Kosinus von zwei Winkeln x1x_1x1​ und x2x_2x2​ kennt, kann man damit auch die Werte für sin⁡(x1+x2)\sin(x_1+x_2)sin(x1​+x2​) und cos⁡(x1+x2)\cos(x_1+x_2)cos(x1​+x2​) ermitteln.

Satz 5220A (Additionstheoreme für Sinus und Kosinus)

1. sin⁡(x1+x2)=sin⁡x1 cos⁡x2+sin⁡x2 cos⁡x1\sin(x_1+x_2) =\sin x_1\, \cos x_2+\sin x_2\, \cos x_1sin(x1​+x2​)=sinx1​cosx2​+sinx2​cosx1​
   sin⁡(x1−x2)=sin⁡x1 cos⁡x2−sin⁡x2 cos⁡x1\sin(x_1-x_2) =\sin x_1\, \cos x_2-\sin x_2\, \cos x_1sin(x1​−x2​)=sinx1​cosx2​−sinx2​cosx1​
   sin⁡2x=2sin⁡x cos⁡x\sin 2x=2\sin x\, \cos xsin2x=2sinxcosx
2. cos⁡(x1+x2)=cos⁡x1cos⁡x2−sin⁡x1sin⁡x2\cos(x_1+x_2)=\cos x_1\cos x_2- \sin x_1\sin x_2cos(x1​+x2​)=cosx1​cosx2​−sinx1​sinx2​
   cos⁡(x1−x2)=cos⁡x1cos⁡x2+sin⁡x1sin⁡x2\cos(x_1-x_2)=\cos x_1\cos x_2+ \sin x_1\sin x_2cos(x1​−x2​)=cosx1​cosx2​+sinx1​sinx2​
   cos⁡2x=cos⁡2x−sin⁡2x\cos 2x= \cos^2 x- \sin^2 xcos2x=cos2x−sin2x

1. sin⁡(π+x)=−sin⁡x\sin(\pi+x)=-\sin xsin(π+x)=−sinx und sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi-x)=\sin xsin(π−x)=sinx
2. cos⁡(π+x)=−cos⁡x\cos(\pi+x)=-\cos xcos(π+x)=−cosx und cos⁡(π−x)=−cos⁡x\cos(\pi-x)=-\cos xcos(π−x)=−cosx

Beweis

i. In der nebenstehenden Grafik sind die beiden Winkel x1x_1x1​ und x2x_2x2​ übereinander abgetragen. Der Kreis soll den Radius 111 haben (Einheitskreis).

Die gesuchte Größe ist η=sin⁡(x1+x2)\eta=\sin(x_1+x_2)η=sin(x1​+x2​).

Dann entnimmt man folgende Beziehungen: sin⁡x1=η1\sin x_1 = \eta_1sinx1​=η1​, cos⁡x1=ξ1\cos x_1 = \xi_1cosx1​=ξ1​, sin⁡x2=η2\sin x_2 = \eta_2sinx2​=η2​, cos⁡x2=ξ2\cos x_2 = \xi_2cosx2​=ξ2​.

Aus dem Strahlensatz erhält man aξ2=η11\dfrac a {\xi_2}=\dfrac {\eta_1} 1ξ2​a​=1η1​​, also a=η1ξ2a=\eta_1\xi_2a=η1​ξ2​ und als weitere Beziehung pa=η2+pη\dfrac p a = \dfrac {\eta_2+p} \etaap​=ηη2​+p​, also η=a(η2+p)p\eta=\dfrac{a(\eta_2+p)} pη=pa(η2​+p)​.

Um ppp zu bestimmen, nutzen wir die Beziehung sin⁡(π2−x1)=cos⁡x1\sin\braceNT{\dfrac \pi 2 - x_1}=\cos x_1sin(2π​−x1​)=cosx1​ =ξ1=ap=\xi_1=\dfrac a p=ξ1​=pa​ (Satz 5220B).

Damit ergibt sich η=ξ1(η2+p)\eta=\xi_1(\eta_2+p)η=ξ1​(η2​+p) =ξ1(η2+aξ1)=\xi_1\braceNT{\eta_2+\dfrac a {\xi_1}}=ξ1​(η2​+ξ1​a​) =ξ1(η2+η1ξ2ξ1)=\xi_1\braceNT{\eta_2+\dfrac {\eta_1\xi_2} {\xi_1}}=ξ1​(η2​+ξ1​η1​ξ2​​) =ξ1η2+η1ξ2=\xi_1\eta_2 + \eta_1\xi_2=ξ1​η2​+η1​ξ2​, und wenn wir die Definitionen für Sinus und Kosinus einsetzen erhalten wir die erste Behauptung.

Die beiden anderen Behauptungen ergeben sich trivial wenn wir y=−yy=-yy=−y und y=xy=xy=x in die erste Gleichung einsetzen.

ii. Mit Satz 5220B und den Ergebnissen von i. ergibt sich: cos⁡(x1+x2)=sin⁡(π2+x1+x2)\cos(x_1+x_2) = \sin (\dfrac \pi 2 + x_1+x_2)cos(x1​+x2​)=sin(2π​+x1​+x2​) =sin⁡(π2+x1)cos⁡x2+cos⁡(π2+x1)sin⁡x2=\sin(\dfrac \pi 2 + x_1)\cos x_2+\cos(\dfrac \pi 2 + x_1)\sin x_2=sin(2π​+x1​)cosx2​+cos(2π​+x1​)sinx2​ =cos⁡x1cos⁡x2−sin⁡x1sin⁡x2=\cos x_1\cos x_2- \sin x_1\sin x_2=cosx1​cosx2​−sinx1​sinx2​. Die anderen beiden Behauptungen ergeben sich analog. Die speziellen Aussagen beweist man durch Einsetzen und mit den Werten aus Tabelle 7CGF. □\qed□

Satz 5316D (Weitere Additionstheoreme für Sinus und Kosinus)

1. sin⁡2x=12(1−cos⁡2x)\sin^2x =\dfrac 1 2 (1-\cos 2x)sin2x=21​(1−cos2x)
   cos⁡2x=12(1+cos⁡2x)\cos^2x =\dfrac 1 2 (1+\cos 2x)cos2x=21​(1+cos2x)
2. sin⁡x1+sin⁡x2=2⋅sin⁡x1+x22⋅cos⁡x1−x22\sin x_1+\sin x_2=2\cdot \sin\dfrac {x_1+x_2} 2\cdot \cos\dfrac {x_1-x_2} 2sinx1​+sinx2​=2⋅sin2x1​+x2​​⋅cos2x1​−x2​​
   sin⁡x1−sin⁡x2=2⋅cos⁡x1+x22⋅sin⁡x1−x22\sin x_1-\sin x_2=2\cdot \cos\dfrac {x_1+x_2} 2\cdot \sin\dfrac {x_1-x_2} 2sinx1​−sinx2​=2⋅cos2x1​+x2​​⋅sin2x1​−x2​​
3. cos⁡x1+cos⁡x2=2⋅cos⁡x1+x22⋅cos⁡x1−x22\cos x_1+\cos x_2=2\cdot \cos\dfrac {x_1+x_2} 2\cdot \cos\dfrac {x_1-x_2} 2cosx1​+cosx2​=2⋅cos2x1​+x2​​⋅cos2x1​−x2​​
   cos⁡x1−cos⁡x2=−2⋅sin⁡x1+x22⋅sin⁡x1−x22\cos x_1-\cos x_2=-2\cdot \sin\dfrac {x_1+x_2} 2\cdot \sin\dfrac {x_1-x_2} 2cosx1​−cosx2​=−2⋅sin2x1​+x2​​⋅sin2x1​−x2​​

Beweis

(i) sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x+\cos^2 x=1sin2x+cos2x=1 (Satz 5220B)

  ⟹  2cos⁡2x=1+cos⁡2x−sin⁡2x\implies 2\cos^2 x=1+ \cos^2 x-\sin^2 x⟹2cos2x=1+cos2x−sin2x

  ⟹  2cos⁡2x=1+cos⁡2x\implies 2\cos^2 x=1+ \cos 2x⟹2cos2x=1+cos2x (Satz 5220A)

  ⟹  12(1+cos⁡2x)\implies \dfrac 1 2 (1+\cos 2x)⟹21​(1+cos2x)

Analog zeigt man die Beziehung für den Sinus.

(ii) und (iii). Unter Benutzung von Satz 5220A und Satz 5220B rechnen wir eine Identität exemplarisch vor.

2⋅sin⁡x1+x22⋅cos⁡x1−x222\cdot \sin\dfrac {x_1+x_2} 2\cdot \cos\dfrac {x_1-x_2} 22⋅sin2x1​+x2​​⋅cos2x1​−x2​​ =2(sin⁡x12cos⁡x22+cos⁡x12sin⁡x22)(cos⁡x12cos⁡x22+sin⁡x12sin⁡x22)=2\braceNT{\sin\dfrac{x_1} 2\cos\dfrac{x_2} 2 + \cos\dfrac{x_1} 2\sin\dfrac{x_2} 2}\braceNT{\cos\dfrac{x_1} 2\cos\dfrac{x_2} 2 + \sin\dfrac{x_1} 2\sin\dfrac{x_2} 2}=2(sin2x1​​cos2x2​​+cos2x1​​sin2x2​​)(cos2x1​​cos2x2​​+sin2x1​​sin2x2​​) =2sin⁡x12cos⁡x12cos⁡2x22+2sin⁡x22cos⁡x22cos⁡2x12=2\sin\dfrac{x_1} 2\cos\dfrac{x_1} 2\cos^2\dfrac{x_2} 2+2\sin\dfrac{x_2} 2\cos\dfrac{x_2} 2\cos^2\dfrac{x_1} 2=2sin2x1​​cos2x1​​cos22x2​​+2sin2x2​​cos2x2​​cos22x1​​+2sin⁡2x12sin⁡x22cos⁡x22+2sin⁡x12sin⁡2x22cos⁡x12+ 2\sin^2\dfrac{x_1} 2\sin\dfrac{x_2} 2\cos\dfrac{x_2} 2+2\sin\dfrac{x_1} 2\sin^2\dfrac{x_2} 2\cos\dfrac{x_1} 2+2sin22x1​​sin2x2​​cos2x2​​+2sin2x1​​sin22x2​​cos2x1​​ =2sin⁡x12cos⁡x12(sin⁡2x22+cos⁡2x22)=2\sin\dfrac{x_1} 2\cos\dfrac{x_1} 2\braceNT{\sin^2\dfrac{x_2} 2+\cos^2\dfrac{x_2} 2}=2sin2x1​​cos2x1​​(sin22x2​​+cos22x2​​)+2sin⁡x22cos⁡x22(sin⁡2x12+cos⁡2x12)+2\sin\dfrac{x_2} 2\cos\dfrac{x_2} 2\braceNT{\sin^2\dfrac{x_1} 2+\cos^2\dfrac{x_1} 2}+2sin2x2​​cos2x2​​(sin22x1​​+cos22x1​​) =2sin⁡x12cos⁡x12+2sin⁡x22cos⁡x22=2\sin\dfrac{x_1} 2\cos\dfrac{x_1} 2+2\sin\dfrac{x_2} 2\cos\dfrac{x_2} 2=2sin2x1​​cos2x1​​+2sin2x2​​cos2x2​​ =sin⁡x1+sin⁡x2=\sin x_1+\sin x_2=sinx1​+sinx2​ □\qed□

Strukturen sind die Waffen der Mathematiker.

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