Wie kann man ein Dreieck berechnen? Genau dies sehen wir uns in den nächsten Abschnitten an. Dabei wird gezeigt, wie man Fläche und Umfang an einem Dreieck berechnen kann. Entsprechende Formeln mit Beispiel werden vorgestellt. Dieser Artikel gehört zu unserem Bereich Mathematik. Show
 Im Mathematik-Unterricht der Mittelstufe rechnet man oft an Dreiecken. Das wollen wir hier nun auch tun. Dabei sehen wir uns an, wie man den Umfang eines Dreiecks berechnen kann und im Anschluss geht es um die Fläche bei einem Dreieck. Dreieck berechnen: UmfangUmfang Dreieck: Formel: U = a + b + c Beispiel 1: a = 3 m, b = 2,5 m und c = 3,3 m Lösung: U = 3 m + 2,5 m + 3,3 m = 8,8 m Dreieck berechnen: FlächeAls nächstes beschäftigen wir uns damit die Fläche eines Dreiecks zu berechnen. Dazu benötigen wir die Länge der Grundseite und die Höhe des Dreiecks. Es folgt eine Grafik, im Anschluss eine Formel und ein Beispiel: Fläche Dreieck: Formel: A = 0,5 · a · h
Beispiel 2: a = 3 cm, h = 5 cm Lösung: A = 0,5 · 3 cm · 5 cm = 7,5 cm2 Rechtwinkliges Dreieck berechnenWichtig: Den Satz des Pythagoras darf man nur an Dreiecken anwenden, welche einen rechten Winkel aufweisen! Bei dem folgenden Dreieck findet sich links unten ein rechter Winkel. Der rechte Winkel ist wie gesagt absolut zwingend um den Satz des Pythagoras anwenden zu dürfen. Folgende Eigenschaften sind noch interessant:
Der Satz des Pythagoras wird dazu benutzt, die dritte Länge eines Dreiecks zu berechnen. Weiß man also zum Beispiel die Längen von a und b, kann man die Länge von c damit berechnen. Die Formel bzw. Gleichung lautet:
Beispiel 1:
Beispiel 2:
Links:
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Flächeninhalt eines Rechtecks berechnenUm den Flächeninhalt eines Rechtecks zu bestimmen, kannst du es mit Einheitsquadraten auslegen. Allgemein erhältst du den Flächeninhalt (oder kurz die Fläche) A eines Rechtecks, wenn du die Länge a mit der Breite b multiplizierst: A=a·b Flächeninhalt eines Quadrats berechnenDas Quadrat ist ein besonderes Rechteck. Hier sind nicht nur die gegenüberliegenden Seiten gleich lang, sondern alle vier Seiten. Für den Flächeninhalt A gilt dann: A=a·a Flächeninhalt einer rechtwinkligen Figur berechnenIm Alltag kommen häufig Flächen vor, die aus mehreren Rechtecken zusammengesetzt sind (zum Beispiel Wohnungsgrundrisse). Auch für diese kannst du den Flächeninhalt berechnen. Du überlegst zunächst, wie die Figur aus Rechtecken zusammengesetzt ist. Dann berechnest du die Flächeninhalte dieser Rechtecke und addierst die Ergebnisse. Umfang eines Rechtecks berechnenDen Umfang eines Vielecks berechnest du, indem du alle Seitenlängen addierst. Flächeninhalt eines Dreiecks berechnenDen Flächeninhalt eines Dreiecks (A) berechnest du, indem du die Länge der Grundseite g mit der zugehörigen Höhe h multiplizierst und das Produkt durch 2 dividierst: A= 12g·h Da es drei verschiedene Grundseiten und die jeweiligen zugehörigen Höhen im Dreieck gibt, gibt es drei verschiedene Möglichkeiten den Flächeninhalt zu berechnen:Mit der Grundseite a: A=12a·ha, wobei a die Länge der Seite a und ha die zugehörige Höhe bezeichnet.Mit der Grundseite b: A=12b·hb, wobei b die Länge der Seite b und hb die zugehörige Höhe bezeichnet.Mit der Grundseite c: A=1 2c·hc, wobei c die Länge der Seite c und hc die zugehörige Höhe bezeichnet. Den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks (A) berechnest du, indem du die Längen der Seiten, die den rechten Winkel einschließen, multiplizierst: A=12a ·b, wobei a und b die Längen der Seiten, die den rechten Winkel einschließen, bezeichnen. Flächeninhalt eines Dreiecks: A=12a·ha=12b·hb= 12c·hc Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreieck: A=12a·b Woher kommt die Formel zur Flächeninhaltsberechnung eines Dreiecks? Woher kommt die Formel zur Flächeninhaltsberechnung eines rechtwinkligen Dreiecks? Flächeninhalt eines Dreiecks Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks. Flächeninhalt berechnen A=3026 cm2 Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks. Flächeninhalt berechnen A=403 cm2 Allgemeines Dreieck und die WinkelsummeEin Dreieck hat drei Eckpunkte, drei Seiten und drei Winkel.Für die Beschriftung der Eckpunkte eines Dreiecks verwendest du große Buchstaben in alphabetischer Reihenfolge (zum Beispiel A, B und C). Die Beschriftung erfolgt üblicherweise gegen den Uhrzeigersinn. Die Seiten werden entsprechend mit kleinen Buchstaben (zum Beispiel a, b und c) beschriftet. Dabei liegt die Seite a dem Eckpunkt A gegenüber und verbindet die Punkte B und C. Für Winkel werden kleine griechische Buchstaben verwendet (zum Beispiel α, β und γ). Dabei ist α der Winkel am Eckpunkt A, β liegt am Eckpunkt B und γ am Eckpunkt C. Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt 180°. Winkelsumme: α + β + γ = 180 ° Haus der ViereckeDas „Haus der Vierecke“ stellt die Beziehungen zwischen speziellen Vierecken dar. Dreiecksarten und ihre EigenschaftenEs gibt verschiedene Dreiecksarten. Du kannst diese nach der Größe ihrer Winkel und den Beziehungen ihrer Seitenlängen einteilen: Winkelgröße: Seitenlänge: Die Begriffe Winkelgröße und Seitenlänge lässt sich auch kombinieren (zum Beispiel „gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck“). Spitzwinkliges Dreieck Rechtwinkliges Dreieck Rechte Winkel werden allgemein mit dem Symbol Stumpfwinkliges Dreieck Gleichschenkliges Dreieck Spezielle gleichschenklige Dreiecke Gleichseitiges Dreieck Flächeninhalt eines Kreises berechnenDie Formel für den Flächeninhalt eines Kreises kannst du unterschiedlich nutzen. Wenn du zu gegebenem Radius r den Flächeninhalt A berechnen möchtest, setzt du den Wert für den Radius in die Formel ein und berechnest den Flächeninhalt. Wenn du zu gegebenem Flächeninhalt A den Radiusr berechnen möchtest, stellst du die Formel nach r um und setzt den Wert für A in die umgestellte Formel ein: A=pir 2 Berechne den Flächeninhalt des Kreises. Gib das Ergebnis auf zwei Stellen nach dem Komma genau an. Flächeninhalt berechnen Der Kreis hat einen Flächeninhalt von etwa 72.38cm2. Berechne den Radius des Kreises. Der Kreis hat einen Flächeninhalt von 102m2. Gib das Ergebnis auf zwei Stellen nach dem Komma genau an. Radius berechnen Der Kreis hat einen Radius von etwa 5.70m. Kreisfläche in SachzusammenhängenEine kreisförmige Fläche entsteht oft durch ein rotierendes Objekt, zum Beispiel einen Wassersprenger. Hier ist es interessant zu wissen, wie groß die Fläche ist, die bewässert wird. Um das Volumen bestimmter Körper (zum Beispiel Zylinder und Kegel) mit kreisförmiger Grundfläche berechnen zu können, benötigst du den Flächeninhalt dieser Grundfläche. Statt des Radius ist in diesen Fällen meist der Durchmesser gegeben, da sich dieser leichter messen lässt. Der Meistergrill 5000 hat einen runden Grillrost mit einem Durchmesser von 60 cm. Ein Würstchen benötigt etwa 42 cm? Platz. Wie viele Würstchen passen nebeneinander auf den Grillrost, wenn man die Fläche optimal ausnutzt? Umfang eines Kreises berechnenAus dem Verhältnis des Kreisumfangs zum Kreisdurchmesser Ud=π ergibt sich die Formel für die Berechnung des Umfangs eines Kreises bei gegebenem Durchmesser d: U=πd Hast du den Radius r des Kreises gegeben, verwendest du U =π2r, denn d=2r Für den Umfang U eines Kreises mit dem Durchmesser d gilt: U=πd Für den Umfang U eines Kreises mit dem Radius r gilt: U=2πr Berechne den Umfang U des Kreises mit dem Radius r = 3.8cm. Runde das Ergebnis auf eine Stelle nach dem Komma. Umfang berechnen Der Kreis hat einen Umfang von etwa 23.9cm. Berechne den Radius r eines Kreises mit dem Umfang U=35.706m. Gib das Ergebnis auf Zentimeter genau an. Radius berechnen Der Kreis hat hat einen Radius von etwa 5.68m. Kreisumfang in SachzusammenhängenIm Alltag hast du öfter mit kreisrunden Gegenständen zu tun, bei denen der Umfang von Interesse ist. Du kannst z.B. den Umfang eines Fahrradreifens berechnen und damit den zurückgelegten Weg bei einer bestimmten Anzahl von Radumdrehungen und daraus die Geschwindigkeit ermitteln. Beim Longieren benutzt Emma eine Longierleine, die 8m lang ist. Welche Strecke hat das Pferd nach 25 Runden zurückgelegt" Gib das Ergebnis auf ganze Meter gerundet an. Umfang berechnen Die Laufstrecke des Pferdes beträgt etwa 1257m . Philipp besitzt ein 24-Zoll-Fahrrad. Wenn Philipp damit fährt, dreht sich der Reifen durchschnittlich 105 Mal pro Minute. Mit welcher Geschwindigkeit ist Philipp unterwegs?Gib das Ergebnis auf Kilometer pro Stunde gerundet an. Geschwindigkeit berechnen Philipp erreicht eine Geschwindigkeit von etwa 12km/h. Wie ist die Formel für das Dreieck?U = a+ b + c. Um den Umfang eines Dreiecks berechnen zu können, müssen alle drei Seitenlängen bekannt sein. Genauso kann es sein, dass der Umfang und zwei Seitenlängen gegeben sind und du die fehlende Seitenlänge berechnen musst. Dazu musst du die Formel umstellen.
Wie berechnet man die 3 Seite eines Dreiecks?In rechtwinkligen Dreiecken gilt der Satz des Pythagoras: a²+b²=c². Das heißt also umgekehrt: c=Wurzel aus (a²+b²) oder b=Wurzel aus (c²-a²). Auf diese Weise kann man aus zwei gegebenen Seiten leicht die dritte berechnen.
Wie berechne ich 2 Seiten eines Dreiecks?Die Seiten und Winkel kann man mit Hilfe von Sinus und Kosinus (Thema Klasse 10) berechnen: Es gilt nämlich für zwei Seiten a und b und die gegenüberliegenden Winkel Alpha und Beta: a/sin Alpha = b/sin Beta (Sinussatz).
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Formel für die berechnung eines Dreiecks
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