Wie erkennt man eine gerade Linie?

Anfangspunkt der Halbgeraden $\rightarrow$ [AB[ $\leftarrow$ 2. Punkt, mit dem die Halbgerade festgelegt ist

2. Punkt, mit dem die Halbgerade festgelegt ist $\rightarrow$ ]CD] $\leftarrow$ Anfangspunkt der Halbgerade

Geraden

Geraden sind durch zwei Punkte eindeutig festgelegt und sind unendlich lang. Das bedeutet, dass die Gerade durch diese zwei Punkte läuft und damit nirgendwo anders im Koordinatensystem liegen kann. Die Gerade hat keinen Anfang und kein Ende.
Geraden, die im Koordinatensystem durch den Ursprung oder Nullpunkt laufen, nennt man Ursprungsgeraden.

Standardmäßig nennt man eine Gerade „g“ oder „AB“.

Lage von Geraden zueinander

Für uns sind drei besondere Lagen von Geraden zueinander wichtig:
• sich schneidende Geraden,
• parallel verlaufende Geraden und
• senkrecht stehende Geraden.

1. Fall: Die Geraden schneiden sich in einem Punkt S.

2. Fall: Die Geraden sind parallel. Das bedeutet, dass der Abstand zwischen den Geraden immer gleich groß ist.
Man schreibt g II h und sagt „g ist parallel zu h“.

3. Fall: Die Geraden stehen senkrecht zueinander. Das bedeutet, dass die Geraden sich in einem Punkt S schneiden und dass der Winkel α zwischen den beiden Geraden genau 90° beträgt. Man schreibt dann b ⊥ c und sagt „b steht senkrecht auf c“.

Ein Strich muss nicht immer gerade sein. Gerade Striche sind in Zeichnungen oft extrem langweilig. Aber manchmal wünscht man sich doch, dass es funktioniert, denn…

• Gerade Linien wirken in einer Zeichnung dynamisch.
• Beim Produktdesign werden gerade Linien in Skizzen benötigt.
• Dünne Hilfslinien für die Perspektive sollten ebenfalls möglichst gerade sein.

Der Grund für das Problem der krummen Linien findet sich in unserer Anatomie.

Wir sind große Zirkel!

Man könnte sich den Arm wie einen großen Zirkel vorstellen. Zeichnet man nun verkrampft aus dem Handgelenk oder gar aus den Fingergelenken und bewegt den Arm dabei nicht, wird der Radius dieses „Zirkels“ sehr gering sein. Auf dem Papier entsteht der Kreisbogen eines kleinen Kreises. Wenn man nun lockerer aus dem Ellenbogen zeichnet, wird der Kreis gleich viel größer und das Kreissegment wirkt optisch gerader. Noch besser wäre das Zeichnen aus dem Schultergelenk. Mit einer Kombination aus Ellenbogen und Schultergelenk werden die Striche sehr gerade.

Schnell radeln!

Jetzt stellen Sie sich ein Fahrrad vor. Ein Anfänger hat noch Angst vor der Geschwindigkeit und gerade das wird zum Problem. Das Fahrrad wackelt von links nach rechts. Sobald Geschwindigkeit als Zutat in den Topf geworfen wird, klappt das Fahrradfahren. Und ähnlich ist es bei einem Strich, der sehr gerade werden soll. Gas geben! Ein schneller, aus dem Schultergelenk ausgeführter Strich wird fast gerade. In einer lockeren, dynamischen Zeichnung dürfen gerade Linien auch mal überstehen. Also bitte nicht alles punktgenau wegradieren.
Schulter locker machen, die Hand starr halten, einen Startpunkt wählen und wie beim Tennis durchziehen! Bei Unsicherheiten könnte man zuvor noch ein paar Trockenübungen machen, indem man den Stift noch nicht auf das Papier aufsetzt.

Lineale wegwerfen oder tief in der Schublade verstecken!

In der künstlerischen Zeichnung braucht man kein Lineal. Außer es ist Genauigkeit, wie bei einer Architekturzeichnung gefragt.
Lineallinien sind, wie oben bereits erwähnt, superlangweilig.

Üben, Üben, Üben..

Holen Sie sich Schmierpapier und einen Stift. Dann setzen sie viele Linien im kurzen Abstand nebeneinander. Sie werden sehen, es klappt recht schnell, wenn man dabei nicht zu zaghaft ist. Und es ist wie Radfahren. Einmal verstanden – verlernt man es nie.

Weil sie in einem Punkt anfangen, also der Sonne und dann unendlich lang weitergehen. Außer natürlich, sie treffen auf ein Hindernis, zum Beispiel auf Dich oder einen Baum. Schau Dich mal um. In vielen Dingen des Alltags stecken geometrische Figuren. Rechtecke, Kreise, Dreiecke und auch Strahlen und Geraden. Was ist aber der Unterschied zwischen einem Strahl und einer Gerade?

Gerade, Strecke und Strahl in Geometrie – Einführung

Auch wenn sie nicht ganz gleich sind, haben Strecke, Strahl und Gerade eins gemeinsam: Sie sind eine gerade Linie.

Nimm Dir Dein Lineal oder Geodreieck und ziehe eine Linie auf ein Papier. Das ist eine Gerade. Oder ein Strahl, oder eine Strecke, je nachdem wie lang Du die Linie zeichnest. Gehen die Enden über den Rand des Papiers hinaus, ist es eine Gerade. Fängt sie auf dem Papier an und geht über den Papierrand hinaus, ist es ein Strahl und liegen Anfang und Ende der Linie auf dem Papier, dann hast Du eine Strecke gezeichnet. Mehr zur Unterscheidung gibt's weiter unten.

Zum besseren Verständnis von Geraden, Strecken und Strahlen solltest Du wissen, was ein Punkt und eine Linie ist.

Ein Punkt ist die Schnittstelle zweier gerader Linien und beschreibt eine genaue Position. Er hat keine Ausdehnung (Dimension). Mehrere Punkte bilden in der Mathematik eine geometrische Figur.

Keine Ausdehnung heißt, dass der Punkt so klein ist, dass er praktisch nicht existiert. Er existiert nur in unserer Vorstellung. Er wird zwar meist als kleiner Kreis oder als Kreuz dargestellt, das dient aber nur der Veranschaulichung und ist eine gedachte Positionsangabe.

Eine Linie repräsentiert einen Weg zwischen zwei Punkten. Sie entsteht durch die Bewegung eines Punktes. Jede Linie ist eine unendliche Punktmenge. Eine Linie kann gerade oder gebogen sein. Außerdem kann sie einen Start und/oder Endpunkt haben, aber auch unendlich lang sein.

Das heißt, dass jede Position auf einer Linie durch einen Punkt repräsentiert werden kann. Da dieser unendlich klein ist, sind auf der Linie unendlich viele Punkte.

Definition von Gerade, Strecke und Strahl

Damit kann es nun weitergehen zu den Geraden.

Wie schon erwähnt, ist eine Gerade eine Linie, die, wie der Name schon sagt, gerade ist.

Eine Gerade ist eine Linie, die auf beiden Seiten ins Unendliche reicht. Sie besitzt keinen Start- und Endpunkt.

Genauer gesagt ist eine Gerade eine unendlich lange, gerade Linie, weil sie nirgends anfängt und auch kein Ende hat.

Die Achse, um die sich die Erde dreht, ist zum Beispiel eine Gerade, denn sie ist nur gedacht und reicht unendlich weit ins Weltall.

Was Du mit der Geraden alles anstellen kannst, findest Du in der Erklärung zur Gerade.

Halbgerade

Wie der Name schon sagt, ist eine Halbgerade die Hälfte einer Gerade.

Eine Halbgerade ist die Hälfte einer Gerade. Sie entsteht, wenn eine Gerade durch einen Punkt in 2 Hälften geteilt wird. Somit hat eine Halbgerade einen Startpunkt, aber keinen Endpunkt.

Wenn Du also eine Gerade durch einen Punkt teilst, erhältst Du zwei Halbgeraden, die jeweils an derselben Stelle beginnen und dann in entgegengesetzter Richtung ins Unendliche verlaufen.

Wenn Du Dir eine Zahlengerade malst, kannst Du das auch als Halbgeraden sehen, denn die 0 trennt die positiven von den negativen Zahlen. Das heißt, im Punkt 0 beginnen 2 Halbgeraden, die unendlich weitergehen.

Die Eigenschaften einer Halbgerade findest Du auch in der Definition von einem Strahl wieder.

Ein Strahl ist eine gerade Linie, die in einem Startpunkt beginnt und in eine Richtung ins Unendliche geht. Ein Strahl hat keinen Endpunkt.

Das ändert zwar nichts daran, dass er trotzdem unendlich ist, aber immerhin gibt es einen Punkt, in dem der Strahl anfängt.

Vergleichen kannst Du das mit Sonnenstrahlen oder auch einem künstlichen Licht, wie zum Beispiel einer Taschenlampe. Der Startpunkt ist dabei die Lichtquelle, also die Sonne oder das Leuchtmittel der Lampe und der Strahl leuchtet theoretisch unendlich weit.

In der Praxis werden Lichtstrahlen allerdings durch Staub in der Luft oder Hindernisse unterbrochen. Deswegen kannst Du mit einer Taschenlampe trotzdem nicht unendlich weit leuchten und in der Tiefsee sind auch keine Sonnenstrahlen mehr.

Vielleicht ist Dir schon aufgefallen, dass sich Halbgerade und Strahl sehr ähnlich sind. Der Unterschied ist, dass eine Halbgerade nie ohne ihr Gegenstück auftritt (also der anderen Halbgerade, mit der sie sich den Startpunkt teilt), der Strahl hingegen schon.

Und zum Schluss fehlt noch die Strecke.

Eine Strecke ist eine geradlinige Verbindung zweier gegebener Punkte. Sie hat also sowohl einen Start-, als auch einen Endpunkt.

Das heißt, eine Strecke ist – anders als die bisherigen Linien – endlich.

Oft redet man von "Strecke", wenn es zum Beispiel ums Autofahren geht. Diese Strecke ist zwar nicht ganz gerade, repräsentiert aber meist dennoch den kürzesten Weg. Diese Strecke ist also eher umgangssprachlich. Eine mathematisch korrekte Strecke ist zum Beispiel die Flugbahn eines Flugzeugs, weil es nicht an Straßen gebunden ist und bis zum Ziel geradeaus fliegen kann.

Anwendung von Gerade, Strecke und Strahl

Es ist nicht nur hilfreich, zu wissen, was eine Gerade, eine Strecke und ein Strahl ist, sondern Du kannst auch etwas mit ihnen anstellen. Gerade auf dem Bau und in der Konstruktion werden geometrische Formen gebraucht.

Parallele Geraden

Parallele Geraden brauchst Du vor allem dann, wenn etwas sehr lang ist und in gleichem Abstand bleiben soll.

Parallele Geraden sind zwei Geraden, die in jedem Punkt den gleichen Abstand haben, was bedeutet, dass sie sich nicht schneiden.

In der Mathematik wird das Zeichen || verwendet, um die Parallelität von zwei Geraden zu beschreiben.

Parallele Geraden verlaufen also unendlich weit in gleichem Abstand nebeneinander.

Sehen kannst Du das zum Beispiel an Bahngleisen, die meist sehr gerade verlaufen und immer den gleichen Abstand haben müssen, damit der Zug darauf fahren kann.

Wie Du parallele Geraden erkennst und sie selbst zeichnen kannst, erfährst Du in der Erklärung "Parallele Geraden".

Identische Geraden

Neben parallelen Geraden gibt es auch noch deckungsgleiche Geraden, also Geraden, die direkt aufeinanderliegen.

Identische Geraden sind ein Spezialfall der parallelen Geraden. Ihr Abstand beträgt an jeder Stelle 0. Aufgrund dessen werden sie auch als deckungsgleich bezeichnet. Es sind also eigentlich die gleichen Geraden.

Identische Geraden findest Du allerdings nicht mehr in materiellen Dingen, da Du sie höchstens nebeneinander legen kannst, aber nicht an die exakt selbe Stelle.

Identische Geraden beschreiben zum Beispiel eine Bewegung. Es ist also eine gedachte Gerade. Wenn sich ein Meteorit im Weltall auf einer geraden Linie, also einer Gerade fortbewegt und zu einem anderen Zeitpunkt ein anderer Meteorit genau denselben Weg nimmt, dann sind die Geraden, die ihre Bewegung darstellen, deckungsgleich.

Auch Halbgeraden, Strahle und Strecken können parallel und identisch sein.

Lot

Wenn Du etwas fallen lässt, fällt es auf direktem Weg nach unten. Das ist ein Lot.

Ein Lot ist eine Gerade, die senkrecht auf einer anderen Gerade, Halbgerade, Strahl oder Strecke steht. Es entsteht also ein rechter Winkel am Schnittpunkt. Dieser Schnittpunkt wird Lotfußpunkt genannt.

Wenn Du Dir den Lotfußpunkt bildlich vorstellst, kannst Du Dir gleich merken, dass es der Punkt ist, an dem das Lot auf der Geraden "steht" und gleichzeitig, dass hier ein rechter Winkel sein muss, weil ein Fuß beim Stehen auch einen rechten Winkel hat.

Du kannst ein Lot fällen, es aber auch errichten. Was der Unterschied zwischen Fällen und Errichten ist, findest Du in der Erklärung zum Lot.

Im Alltag kannst Du Lote immer dann erkennen, wenn etwas von oben herunterhängt. Die Erdoberfläche ist dabei die Gerade. Die Schnur, an der etwas hängt, ist das Lot. Beispielsweise bei einem Kran hängt das Gewicht immer senkrecht zur Erdoberfläche nach unten.

Unterschied zwischen Gerade, Strecke und Strahl

Hier findest Du nochmal eine Übersicht, wie Du Strahl, Strecke und Gerade unterscheiden kannst.

• unendlich in beide Richtungen
• kein Start- und Endpunkt

• unendlich in eine Richtung
• Startpunkt, teilt ihn mit der anderen Hälfte der Gerade

• unendlich in eine Richtung
• Startpunkt

• endlich
• Start- und Endpunkt

Mehr zu den genannten Figuren findest Du in den Erklärungen

Gerade, Strecke und Strahl – Übungen

Zum Abschluss kannst Du hier noch an ein paar Aufgaben testen, ob Du alles verstanden hast.

Aufgabe 1

Betrachte folgendes Bild:

1. Welche geometrischen Figuren kannst Du erkennen? (Punkt P ist für diese Frage unwichtig)
2. Was passiert, wenn Du Punkt P einbeziehst?

Lösung

1. Im Bild sind eine Strecke (blau), eine Gerade (rot) und ein Strahl (türkis) zu sehen.
2. Punkt P teilt die Gerade in zwei Halbgeraden sowie die Strecke in 2 kürzere Strecken.

Aufgabe 2

Benenne die geometrischen Figuren im Bild.

Lösung

Im Bild wird ein Lot von einem Punkt (beispielsweise P) auf eine Strecke gefällt. Das erkennst Du am rechten Winkel am Schnittpunkt. Dieser Schnittpunkt heißt dementsprechend Lotfußpunkt.

Wann ist eine Linie Gerade?

Welche Linie ist eine gerade?

Ist eine Linie immer Gerade?