Was sind die Eigenschaften von Quader und Würfel?

Ein Würfel, auch Kubus genannt, ist ein Körper (ein Quader) der von 6 Quadraten begrenzt wird. Er besitzt 8 rechtwinkelige Ecken und 12 Kanten, die alle die gleiche Länge besitzen.

Volumen vom Würfel

Das Volumen vom Würfel errechnet sich aus Grundfläche mal Höhe. Die Länge, die Breite und die Höhe betragen jeweils a

\(V = {a^3}\)

Beispiel:
Wie viele Liter Wasser passen in 1m³?
1 Liter Wasser hat ein Volumen von 1dm³
1m hat 10dm
\(1{m^3} = 10dm \cdot 10dm \cdot 10dm = 1.000d{m^3} \buildrel \wedge \over{=} 1.000{\text{ l Wasser}}\)

Oberfläche vom Würfel

Die Oberfläche vom Würfel setzt sich aus 6 Quadraten mit der Kantenlänge a zusammen

\(O = 6{a^2}\)

Netz vom Würfel

Das Netz vom Würfel setzt sich aus der quadratischen Grund- und Deckfläche, sowie aus der Mantelfläche zusammen. Die Mantelfläche wiederum besteht aus vier quadratischen Seitenflächen.

Vieleck Vieleck1Vieleck Vieleck1: Vieleck(E, F, 4)Vieleck Vieleck1Vieleck Vieleck1: Vieleck(E, F, 4)Vieleck Vieleck2Vieleck Vieleck2: Vieleck(F, I, 4)Vieleck Vieleck2Vieleck Vieleck2: Vieleck(F, I, 4)Vieleck Vieleck3Vieleck Vieleck3: Vieleck(I, L, 4)Vieleck Vieleck3Vieleck Vieleck3: Vieleck(I, L, 4)Vieleck Vieleck4Vieleck Vieleck4: Vieleck(L, O, 4)Vieleck Vieleck4Vieleck Vieleck4: Vieleck(L, O, 4)Vieleck Vieleck5Vieleck Vieleck5: Vieleck(R, S, 4)Vieleck Vieleck5Vieleck Vieleck5: Vieleck(R, S, 4)Vieleck Vieleck6Vieleck Vieleck6: Vieleck(J, M, 4)Vieleck Vieleck6Vieleck Vieleck6: Vieleck(J, M, 4)Strecke fStrecke f: Strecke E, FStrecke gStrecke g: Strecke F, GStrecke hStrecke h: Strecke G, HStrecke iStrecke i: Strecke H, EStrecke jStrecke j: Strecke F, IStrecke kStrecke k: Strecke I, JStrecke lStrecke l: Strecke J, KStrecke mStrecke m: Strecke K, FStrecke nStrecke n: Strecke I, LStrecke pStrecke p: Strecke L, MStrecke qStrecke q: Strecke M, NStrecke rStrecke r: Strecke N, IStrecke sStrecke s: Strecke L, OStrecke tStrecke t: Strecke O, PStrecke aStrecke a: Strecke P, QStrecke bStrecke b: Strecke Q, LStrecke cStrecke c: Strecke R, SStrecke dStrecke d: Strecke S, TStrecke eStrecke e: Strecke T, UStrecke f_1Strecke f_1: Strecke U, RStrecke g_1Strecke g_1: Strecke J, MStrecke h_1Strecke h_1: Strecke M, VStrecke i_1Strecke i_1: Strecke V, WStrecke j_1Strecke j_1: Strecke W, JVektor uVektor u: Vektor(D_1, Z)Vektor uVektor u: Vektor(D_1, Z)Vektor vVektor v: Vektor(D_1, A_1)Vektor vVektor v: Vektor(D_1, A_1)Vektor wVektor w: Vektor(D_1, B_1)Vektor wVektor w: Vektor(D_1, B_1)Vektor u_1Vektor u_1: Vektor(D_1, C_1)Vektor u_1Vektor u_1: Vektor(D_1, C_1)GrundflächeText1 = “Grundfläche”DeckflächeText2 = “Deckfläche”4 Seitenflächen = MantelflächeText3 = “4 Seitenflächen = Mantelfläche”

Flächendiagonale vom Würfel

Die Flächendiagonale vom Würfel verbindet jeweils zwei gegenüber liegende Eckpunkte einer Seitenfläche. Sie errechnet sich als Hypotenuse mit Hilfe vom Satz des Pythagoras für ein gleichschenkeliges Dreieck, mit a als der Schenkellänge. Alle Flächendiagonalen sind gleich lang.

\({d_F} = \sqrt {2{a^2}} \)

Raumdiagonale vom Würfel

Die Raumdiagonalen vom Würfel gehen jeweils von einem Eckpunkt in den gegenüber liegenden, am weitesten entfernten Eckpunkt. Die Raumdiagonale vom Würfel errechnet sich mit Hilfe vom Satz des Pythagoras, wobei die Raumdiagonale durch eine Flächendiagonale und eine Kantenlänge aufgespannt wird. Alle Raumdiagonalen sind gleich lang.

\({d_R} = a\sqrt 3 \)

Illustration vom Würfel

Vieleck poly1Vieleck poly1: Vieleck[A, B, 4]Strecke fStrecke f: Strecke [A, B] von Vieleck poly1Strecke gStrecke g: Strecke [B, C] von Vieleck poly1Strecke hStrecke h: Strecke [C, D] von Vieleck poly1Strecke iStrecke i: Strecke [D, A] von Vieleck poly1Strecke jStrecke j: Strecke [C, E]Strecke kStrecke k: Strecke [B, F]Strecke lStrecke l: Strecke [E, F]Strecke mStrecke m: Strecke [D, G]Strecke nStrecke n: Strecke [G, E]Strecke pStrecke p: Strecke [A, H]Strecke qStrecke q: Strecke [H, F]Strecke rStrecke r: Strecke [A, F]Strecke sStrecke s: Strecke [D, F]Strecke tStrecke t: Strecke [H, G]d_Ftext1 = "d_F"d_Ftext1 = "d_F"d_Rtext2 = "d_R"d_Rtext2 = "d_R"atext3 = "a"atext4 = "a"atext5 = "a"atext6 = "a"

Würfel

Volumen Würfel

Oberfläche Würfel

Netz Würfel

Flächendiagonale Würfel

Raumdiagonale Würfel

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Quader

Ein Quader ist ein Körper der von 6 Rechtecken begrenzt wird, wobei die drei einander jeweils gegenüberliegenden Rechtecke gleich groß sind. Der Quader besitzt 8 rechtwinkelige Ecken und 12 Kanten, von denen jeweils 4 die gleiche Länge (a, b, c) besitzen. Haben sogar alle 12 Kanten die gleiche Länge, dann handelt es sich um einen Würfel.

Volumen vom Quader

Das Volumen vom Quader errechnet sich aus Grundfläche mal Höhe. Häufig werden die Kanten auch mit Länge l, Breite b und Höhe h bezeichnet. Länge mal Breite ergibt dann die Grund- bzw. Deckfläche.

\(V = a \cdot b \cdot c = {A_G} \cdot c\)

Oberfläche vom Quader

Die Oberfläche vom Quader setzt sich aus 6 Rechtecken zusammen. Die einander jeweils gegenüber liegenden Rechtecke sind jeweils gleich groß.

\(\eqalign{ & G = D = a \cdot b \cr & M = 2(ac + bc) \cr & O = 2{A_G} + {A_M} = 2(ab + ac + bc) \cr} \)

Netz vom Quader

Das Netz vom Quader setzt sich aus der rechteckigen Grund- und Deckfläche, sowie aus der Mantelfläche zusammen. Die Mantelfläche wiederum besteht aus vier rechteckigen Seitenflächen.

Viereck v1Viereck v1: Polygon J, K, F, EViereck v2Viereck v2: Polygon K, L, G, FViereck v3Viereck v3: Polygon L, M, H, GViereck v4Viereck v4: Polygon M, N, I, HViereck v5Viereck v5: Polygon P, O, M, LViereck v6Viereck v6: Polygon E, F, Q, RStrecke jStrecke j: Strecke J, KStrecke kStrecke k: Strecke K, FStrecke fStrecke f: Strecke F, EStrecke eStrecke e: Strecke E, JStrecke k_1Strecke k_1: Strecke K, LStrecke lStrecke l: Strecke L, GStrecke gStrecke g: Strecke G, FStrecke f_1Strecke f_1: Strecke F, KStrecke l_1Strecke l_1: Strecke L, MStrecke mStrecke m: Strecke M, HStrecke hStrecke h: Strecke H, GStrecke g_1Strecke g_1: Strecke G, LStrecke m_1Strecke m_1: Strecke M, NStrecke nStrecke n: Strecke N, IStrecke iStrecke i: Strecke I, HStrecke h_1Strecke h_1: Strecke H, MStrecke pStrecke p: Strecke P, OStrecke oStrecke o: Strecke O, MStrecke m_2Strecke m_2: Strecke M, LStrecke l_2Strecke l_2: Strecke L, PStrecke e_1Strecke e_1: Strecke E, FStrecke f_2Strecke f_2: Strecke F, QStrecke qStrecke q: Strecke Q, RStrecke rStrecke r: Strecke R, EVektor uVektor u: Vektor(W, S)Vektor uVektor u: Vektor(W, S)Vektor vVektor v: Vektor(W, T)Vektor vVektor v: Vektor(W, T)Vektor wVektor w: Vektor(W, U)Vektor wVektor w: Vektor(W, U)Vektor aVektor a: Vektor(W, V)Vektor aVektor a: Vektor(W, V)GrundflächeText1 = “Grundfläche”DeckflächeText2 = “Deckfläche”4 Seitenflächen = MantelflächeText3 = “4 Seitenflächen = Mantelfläche”aText4 = “a”bText5 = “b”aText6 = “a”bText7 = “b”cText8 = “c”bText9 = “b”bText10 = “b”

Flächendiagonale vom Quader

Die drei Flächendiagonale vom Quader errechnen sich mit Hilfe vom Satz des Pythagoras aus der Wurzel der Summe der quadrierten Kantenlängen der jeweiligen Fläche.

\(\eqalign{ & {d_G} = {d_D} = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \cr & {d_{M1}} = {d_{M3}} = \sqrt {{a^2} + {c^2}} \cr & {d_{M2}} = {d_{M4}} = \sqrt {{b^2} + {c^2}} \cr} \)

Raumdiagonale vom Quader

Die Raumdiagonalen vom Quader gehen jeweils von einem Eckpunkt in den gegenüber liegenden, am weitesten entfernten Eckpunkt. Die Raumdiagonale vom Quader errechnet sich mit Hilfe vom Satz des Pythagoras, wobei die Raumdiagonale durch eine Flächendiagonale und eine Kantenlänge aufgespannt wird. Alle Raumdiagonalen sind gleich lang.

\({d_R} = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \)

Illustration vom Quader

Strecke kStrecke k: Strecke [B, F]Strecke lStrecke l: Strecke [E, F]Strecke nStrecke n: Strecke [G, E]Strecke pStrecke p: Strecke [A, H]Strecke qStrecke q: Strecke [H, F]Strecke rStrecke r: Strecke [A, F]Strecke tStrecke t: Strecke [H, G]Strecke aStrecke a: Strecke [M, N]Strecke bStrecke b: Strecke [M, A]Strecke dStrecke d: Strecke [A, B]Strecke cStrecke c: Strecke [N, B]Strecke fStrecke f: Strecke [M, G]Strecke gStrecke g: Strecke [N, E]Strecke hStrecke h: Strecke [M, F]d_Ftext1 = "d_F"d_Ftext1 = "d_F"d_Rtext2 = "d_R"d_Rtext2 = "d_R"atext3 = "a"btext4 = "b"ctext5 = "c"

Quader

Volumen Quader

Oberfläche Quader

Netz Quader

Flächendiagonale Quader

Raumdiagonale Quader

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Prisma

Ein Prisma ist ein Körper, dessen Grund- und Deckfläche kongruente n-Ecke sind, die in parallelen Ebenen liegen. Es gibt daher dreiseitige, vierseitige, fünfseitige,... Prismen.

Gerades Prisma

Beim geraden Prisma steht die Höhe senkrecht auf die Grund- und Deckfläche. Die Mantelfläche besteht aus n Parallelogrammen. Die Höhe vom geraden Prisma entspricht dem Abstand zwischen Grund- und Deckfläche.

Volumen vom geraden Prisma

Das Volumen vom geraden Prisma errechnet sich aus Grundfläche mal Höhe.

\(V = G \cdot h \)

Mantelfläche vom geraden Prisma

Die Mantelfläche vom geraden Prisma ergibt sich aus dem Umfang der Grundfläche mal der Höhe vom Prisma

\(M = {U_G} \cdot h\)

Oberfläche vom geraden Prisma

Die Oberfläche vom geraden Prisma ergibt sich aus der Summe von Grund- und Deckfläche plus Mantelfläche

\(O = 2G + M\)

Illustration vom geraden Prisma

Strecke fStrecke f: Strecke A, BStrecke gStrecke g: Strecke A, CStrecke hStrecke h: Strecke C, DStrecke iStrecke i: Strecke D, BStrecke jStrecke j: Strecke A, EStrecke kStrecke k: Strecke B, FStrecke lStrecke l: Strecke F, EStrecke mStrecke m: Strecke F, GStrecke nStrecke n: Strecke G, HStrecke pStrecke p: Strecke H, EStrecke qStrecke q: Strecke G, IStrecke rStrecke r: Strecke D, JStrecke sStrecke s: Strecke J, IStrecke tStrecke t: Strecke J, KStrecke aStrecke a: Strecke K, CStrecke bStrecke b: Strecke K, LStrecke cStrecke c: Strecke L, HStrecke dStrecke d: Strecke L, IStrecke eStrecke e: Strecke Q, PStrecke f_1Strecke f_1: Strecke P, RStrecke g_1Strecke g_1: Strecke R, QStrecke h_1Strecke h_1: Strecke N, OStrecke i_1Strecke i_1: Strecke O, MStrecke j_1Strecke j_1: Strecke P, MStrecke k_1Strecke k_1: Strecke R, OStrecke l_1Strecke l_1: Strecke Q, NStrecke m_1Strecke m_1: Strecke N, MGtext1 = “G”htext2 = “h”U_GText1 = “U_G”U_GText1 = “U_G”DText2 = “D”DText3 = “D”GText4 = “G”hText5 = “h”dreieckiges PrismaText6 = “dreieckiges Prisma”sechseckiges PrismaText7 = “sechseckiges Prisma”

Netz vom geraden Prisma

Das Netz vom geraden Prisma setzt sich aus der n-eckigen Grund- und Deckfläche, sowie aus der Mantelfläche zusammen. Die Mantelfläche wiederum besteht aus n rechteckigen Seitenflächen.

Viereck v1Viereck v1: Polygon A_1, U, Z, B_1Viereck v2Viereck v2: Polygon U, T, W, ZViereck v3Viereck v3: Polygon T, S, V, WVieleck Vieleck1Vieleck Vieleck1: Vieleck(F_1, E_1, 6)Vieleck Vieleck1Vieleck Vieleck1: Vieleck(F_1, E_1, 6)Vieleck Vieleck2Vieleck Vieleck2: Vieleck(L_1, M_1, 6)Vieleck Vieleck2Vieleck Vieleck2: Vieleck(L_1, M_1, 6)Viereck v4Viereck v4: Polygon G_1, H_1, F_1, E_1Viereck v5Viereck v5: Polygon H_1, I_1, N_1, F_1Viereck v6Viereck v6: Polygon I_1, J_1, O_1, N_1Viereck v7Viereck v7: Polygon J_1, K_1, P_1, O_1Viereck v8Viereck v8: Polygon K_1, L_1, Q_1, P_1Viereck v9Viereck v9: Polygon L_1, M_1, R_1, Q_1Vieleck Vieleck3Vieleck Vieleck3: Vieleck(D_2, C_2, 3)Vieleck Vieleck3Vieleck Vieleck3: Vieleck(D_2, C_2, 3)Vieleck Vieleck4Vieleck Vieleck4: Vieleck(F_2, G_2, 3)Vieleck Vieleck4Vieleck Vieleck4: Vieleck(F_2, G_2, 3)Strecke a_1Strecke a_1: Strecke A_1, UStrecke uStrecke u: Strecke U, ZStrecke z_1Strecke z_1: Strecke Z, B_1Strecke b_1Strecke b_1: Strecke B_1, A_1Strecke u_1Strecke u_1: Strecke U, TStrecke t_1Strecke t_1: Strecke T, WStrecke wStrecke w: Strecke W, ZStrecke z_2Strecke z_2: Strecke Z, UStrecke t_2Strecke t_2: Strecke T, SStrecke s_1Strecke s_1: Strecke S, VStrecke vStrecke v: Strecke V, WStrecke w_1Strecke w_1: Strecke W, TStrecke fStrecke f: Strecke F_1, E_1Strecke gStrecke g: Strecke E_1, S_1Strecke hStrecke h: Strecke S_1, T_1Strecke iStrecke i: Strecke T_1, U_1Strecke jStrecke j: Strecke U_1, V_1Strecke kStrecke k: Strecke V_1, F_1Strecke lStrecke l: Strecke L_1, M_1Strecke mStrecke m: Strecke M_1, W_1Strecke nStrecke n: Strecke W_1, Z_1Strecke pStrecke p: Strecke Z_1, A_2Strecke qStrecke q: Strecke A_2, B_2Strecke rStrecke r: Strecke B_2, L_1Strecke g_1Strecke g_1: Strecke G_1, H_1Strecke h_1Strecke h_1: Strecke H_1, F_1Strecke f_1Strecke f_1: Strecke F_1, E_1Strecke e_1Strecke e_1: Strecke E_1, G_1Strecke sStrecke s: Strecke H_1, I_1Strecke i_1Strecke i_1: Strecke I_1, N_1Strecke tStrecke t: Strecke N_1, F_1Strecke aStrecke a: Strecke F_1, H_1Strecke bStrecke b: Strecke I_1, J_1Strecke j_1Strecke j_1: Strecke J_1, O_1Strecke o_1Strecke o_1: Strecke O_1, N_1Strecke cStrecke c: Strecke N_1, I_1Strecke dStrecke d: Strecke J_1, K_1Strecke k_1Strecke k_1: Strecke K_1, P_1Strecke p_1Strecke p_1: Strecke P_1, O_1Strecke eStrecke e: Strecke O_1, J_1Strecke l_1Strecke l_1: Strecke K_1, L_1Strecke m_1Strecke m_1: Strecke L_1, Q_1Strecke q_1Strecke q_1: Strecke Q_1, P_1Strecke r_1Strecke r_1: Strecke P_1, K_1Strecke f_2Strecke f_2: Strecke L_1, M_1Strecke g_2Strecke g_2: Strecke M_1, R_1Strecke h_2Strecke h_2: Strecke R_1, Q_1Strecke i_2Strecke i_2: Strecke Q_1, L_1Strecke n_1Strecke n_1: Strecke D_2, C_2Strecke c_1Strecke c_1: Strecke C_2, E_2Strecke d_1Strecke d_1: Strecke E_2, D_2Strecke j_2Strecke j_2: Strecke F_2, G_2Strecke k_2Strecke k_2: Strecke G_2, H_2Strecke l_2Strecke l_2: Strecke H_2, F_2Vektor v_1Vektor v_1: Vektor(R_2, I_2)Vektor v_1Vektor v_1: Vektor(R_2, I_2)Vektor u_2Vektor u_2: Vektor(R_2, J_2)Vektor u_2Vektor u_2: Vektor(R_2, J_2)Vektor v_2Vektor v_2: Vektor(R_2, K_2)Vektor v_2Vektor v_2: Vektor(R_2, K_2)Vektor w_2Vektor w_2: Vektor(S_2, L_2)Vektor w_2Vektor w_2: Vektor(S_2, L_2)Vektor a_2Vektor a_2: Vektor(S_2, M_2)Vektor a_2Vektor a_2: Vektor(S_2, M_2)Vektor b_2Vektor b_2: Vektor(S_2, N_2)Vektor b_2Vektor b_2: Vektor(S_2, N_2)Vektor c_2Vektor c_2: Vektor(S_2, O_2)Vektor c_2Vektor c_2: Vektor(S_2, O_2)Vektor d_2Vektor d_2: Vektor(S_2, P_2)Vektor d_2Vektor d_2: Vektor(S_2, P_2)Vektor e_2Vektor e_2: Vektor(S_2, Q_2)Vektor e_2Vektor e_2: Vektor(S_2, Q_2)dreieckiges PrismaText6 = “dreieckiges Prisma”sechseckiges PrismaText7 = “sechseckiges Prisma”GrundflächeText1 = “Grundfläche”GrundflächeText2 = “Grundfläche”DeckflächeText3 = “Deckfläche”DeckflächeText4 = “Deckfläche”3 Seitenflächen = ManntelflächeText5 = “3 Seitenflächen = Manntelfläche”6 Seitenflächen = MantelflächeText8 = “6 Seitenflächen = Mantelfläche”

Schiefes Prisma

Beim schiefen Prisma steht die Höhe nicht senkrecht auf der Grund- und Deckfläche.

Mantelfläche vom schiefen Prisma

Die Mantelfläche besteht aus n Rechtecken. Die Höhe vom schiefen Prisma entspricht dem senkrechten Abstand zwischen der Ebene in der die Grund- bzw. Deckfläche liegt.

\(M \ne {U_G} \cdot h\)

Oberfläche vom schiefen Prisma

Die Oberfläche vom geraden Prisma ergibt sich aus der Summe von Grund- und Deckfläche plus Mantelfläche

\(O = 2G + M\)

Illustration vom schiefen Prisma

Viereck v1Viereck v1: Polygon K, L, N, MViereck v1Viereck v1: Polygon K, L, N, MDreieck d1Dreieck d1: Polygon S, T, UDreieck d2Dreieck d2: Polygon V, W, ZViereck v2Viereck v2: Polygon E_1, D_1, C_1, B_1Viereck v2Viereck v2: Polygon E_1, D_1, C_1, B_1Viereck v3Viereck v3: Polygon H_1, I_1, J_1, K_1Viereck v4Viereck v4: Polygon I_1, L_1, M_1, J_1Strecke fStrecke f: Strecke E, HStrecke gStrecke g: Strecke F, IStrecke hStrecke h: Strecke G, JStrecke iStrecke i: Strecke H, IStrecke jStrecke j: Strecke I, JStrecke kStrecke k: Strecke J, HStrecke lStrecke l: Strecke E, GStrecke mStrecke m: Strecke G, FStrecke nStrecke n: Strecke E, FStrecke k_1Strecke k_1: Strecke K, LStrecke l_1Strecke l_1: Strecke L, NStrecke n_1Strecke n_1: Strecke N, MStrecke m_1Strecke m_1: Strecke M, KStrecke uStrecke u: Strecke S, TStrecke sStrecke s: Strecke T, UStrecke tStrecke t: Strecke U, SStrecke z_1Strecke z_1: Strecke V, WStrecke vStrecke v: Strecke W, ZStrecke wStrecke w: Strecke Z, VStrecke e_1Strecke e_1: Strecke E_1, D_1Strecke d_1Strecke d_1: Strecke D_1, C_1Strecke c_1Strecke c_1: Strecke C_1, B_1Strecke b_1Strecke b_1: Strecke B_1, E_1Strecke h_1Strecke h_1: Strecke H_1, I_1Strecke i_1Strecke i_1: Strecke I_1, J_1Strecke j_1Strecke j_1: Strecke J_1, K_1Strecke pStrecke p: Strecke K_1, H_1Strecke qStrecke q: Strecke I_1, L_1Strecke rStrecke r: Strecke L_1, M_1Strecke cStrecke c: Strecke M_1, J_1Strecke dStrecke d: Strecke J_1, I_1Vektor aVektor a: Vektor(F_1, G_1)Vektor aVektor a: Vektor(F_1, G_1)Vektor bVektor b: Vektor(G_1, F_1)Vektor bVektor b: Vektor(G_1, F_1)Ebene der DeckflächeText1 = “Ebene der Deckfläche”Ebene der GrundflächeText2 = “Ebene der Grundfläche”hText3 = “h”

Prinzip von Cavalieri

Das Prinzip von Cavalieri besagt, dass das Volumen eines Prismas das Produkt aus Grundfläche und Höhe ist, unabhängig davon ob es sich um ein gerades oder schiefes Prisma handelt.

Welche Eigenschaften haben Quader und Würfel gemeinsam?

Was sind die Eigenschaften von einem Quader?

Was ist die Eigenschaft von einem Würfel?

Was ist der Unterschied von Quader und Würfel?