DEFINITION
Trigonometrische Ungleichungen sind Ungleichungen, die eine Variable unter dem Vorzeichen einer trigonometrischen Funktion enthalten.
Lösen trigonometrischer Ungleichungen
Die Lösung trigonometrischer Ungleichungen läuft oft darauf hinaus, die einfachsten trigonometrischen Ungleichungen der Form zu lösen: \(\ \sin x a \), \(\ \cos x > a \), \(\ \operatorname(tg) x > a \ ), \(\ \ Operatorname(ctg) x > a \), \(\ \sin x \leq a \), \(\ \cos x \leq a \), \(\ \operatorname(tg) x \ leq a \), \ (\ \operatorname(ctg) x \leq a \), \(\ \sin x \geq a \), \(\ \cos \geq a \), \(\ \operatorname(tg ) x \geq a \ ), \(\ \operatorname(tg) x \geq a \)
Die einfachsten trigonometrischen Ungleichungen werden grafisch oder mit einem trigonometrischen Einheitskreis gelöst.
Per Definition ist der Sinus des Winkels \(\ \alpha \) die Ordinate des Punktes \(\ P_(\alpha)(x, y) \) des Einheitskreises (Abb. 1), und der Kosinus ist die Abszisse dieses Punktes. Diese Tatsache nutzt man aus, um die einfachsten trigonometrischen Ungleichungen mit Cosinus und Sinus unter Verwendung des Einheitskreises zu lösen.
Beispiele zur Lösung trigonometrischer Ungleichungen
Löse die Ungleichung \(\ \sin x \leq \frac(\sqrt(3))(2) \)
Da \(\ \left|\frac(\sqrt(3))(2)\right| , hat diese Ungleichung eine Lösung und kann auf zwei Arten gelöst werden
Erster Weg. Lösen wir diese Ungleichung grafisch. Dazu konstruieren wir im selben Koordinatensystem einen Graphen aus dem Sinus \(\ y=\sin x \) (Abb. 2) und der Geraden \(\ y=\frac(\sqrt(3))( 2) \)
Wählen wir die Intervalle aus, in denen sich die Sinuskurve unter dem Graphen der Geraden \(\ y=\frac(\sqrt(3))(2) \) befindet. Finden Sie die Abszissen \(\ x_(1) \) und \(\ x_(2) \) der Schnittpunkte dieser Graphen: \(\ x_(1)=\pi-\arcsin \frac(\sqrt(3 ))(2 )=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2 \pi)(3) x_(2)=\arcsin \frac(\sqrt(3))(2)+2 \pi=\ frac(\pi)(3)+2 \pi=\frac(7 \pi)(3) \)
Wir haben das Intervall \(\ \left[-\frac(4 \pi)(3) ; \frac(\pi)(3)\right] \) erhalten, aber da die Funktion \(\ y=\sin x \) periodisch ist und eine Periode \(\ 2 \pi \) hat, dann ist die Antwort die Vereinigung von Intervallen: \(\ \left[\frac(2 \pi)(3)+2 \pi k ; \frac(7 \pi)(3)+ 2 \pi k\right] \), \(\ k \in Z \)
Der zweite Weg. Konstruiere einen Einheitskreis und eine Gerade \(\ y=\frac(\sqrt(3))(2) \) , bezeichne ihre Schnittpunkte \(\ P_(x_(1)) \) und \(\ P_(x_ (2 )) \) (Abb. 3). Die Lösung der ursprünglichen Ungleichung ist die Menge der Ordinatenpunkte, die kleiner sind als \(\ \frac(\sqrt(3))(2) \) . Lassen Sie uns den Wert von \(\ \boldsymbol(I)_(1) \) und \(\ \boldsymbol(I)_(2) \) finden, indem wir gegen den Uhrzeigersinn gehen, \(\ x_(1) Abb. 3
\(\ x_(1)=\pi-\arcsin \frac(\sqrt(3))(2)=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2 \pi)(3) x_ (2)=\arcsin \frac(\sqrt(3))(2)+2 \pi=\frac(\pi)(3)+2 \pi=\frac(7 \pi)(3) \)
Unter Berücksichtigung der Periodizität der Sinusfunktion erhalten wir schließlich die Intervalle \(\ \left[\frac(2 \pi)(3)+2 \pi k ; \frac(7 \pi)(3)+2 \ pi\right] \), \(\k\in Z\)
Lösen Sie die Ungleichung \(\ \sin x>2 \)
Der Sinus ist eine beschränkte Funktion: \(\ |\sin x| \leq 1 \) , und die rechte Seite dieser Ungleichung ist größer als eins, also gibt es keine Lösungen.
Lösen Sie die Ungleichung \(\ \cos x>\frac(1)(2) \)
Diese Ungleichung kann auf zwei Arten gelöst werden: grafisch und mit einem Einheitskreis. Betrachten wir jede der Methoden.
Erster Weg. Lassen Sie uns in einem Koordinatensystem die Funktionen darstellen, die den linken und rechten Teil der Ungleichung beschreiben, also \(\ y=\cos x \) und \(\ y=\frac(1)(2) \) . Wählen wir die Intervalle aus, in denen der Graph der Kosinusfunktion \(\ y=\cos x \) über dem Graph der Geraden \(\ y=\frac(1)(2) \) liegt (Abb. 4 ).
Finden Sie die Abszissen der Punkte \(\ \boldsymbol(x)_(1) \) und \(\ x_(2) \) - die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen \(\ y=\cos x \ ) und \(\ y=\frac (1)(2) \) , die die Enden eines der Intervalle sind, für die die angegebene Ungleichung gilt. \(\ x_(1)=-\arccos \frac(1)(2)=-\frac(\pi)(3) \); \(\ x_(1)=\arccos \frac(1)(2)=\frac(\pi)(3) \)
Wenn man bedenkt, dass der Kosinus eine periodische Funktion mit einer Periode \(\ 2 \pi \) ist, ist die Antwort der Wert \(\ x \) aus den Intervallen \(\ \left(-\frac(\pi)(3 )+2 \pi k ; \frac(\pi)(3)+2 \pi k\right) \), \(\ k \in Z \)
Der zweite Weg. Konstruieren wir einen Einheitskreis und eine Gerade \(\ x=\frac(1)(2) \) (da die x-Achse den Kosinussen auf dem Einheitskreis entspricht). Seien \(\ P_(x_(1)) \) und \(\ P_(x_(2)) \) (Abb. 5) die Schnittpunkte der Geraden und des Einheitskreises. Die Lösung der ursprünglichen Gleichung ist die Menge der Abszissenpunkte, die kleiner als \(\ \frac(1)(2) \) sind. Finden Sie den Wert von \(\ x_(1) \) und \(\ 2 \) , indem Sie eine Schaltung gegen den Uhrzeigersinn machen, so dass \(\ x_(1) Unter Berücksichtigung der Periodizität des Kosinus erhalten wir schließlich die Intervalle \( \ \left(-\frac (\pi)(3)+2 \pi k ;\frac(\pi)(3)+2 \pi k\right) \),\(\ k \in Z \)
Lösen Sie die Ungleichung \(\ \operatorname(ctg) x \leq-\frac(\sqrt(3))(3) \)
Lassen Sie uns Graphen der Funktionen \(\ y=\operatorname(ctg) x \), \(\ y=-\frac(\sqrt(3))(3) \) in einem Koordinatensystem zeichnen
Wählen wir die Intervalle aus, in denen der Graph der Funktion \(\ y=\operatorname(ctg) x \) nicht höher ist als der Graph der Geraden \(\ y=-\frac(\sqrt(3))(3 ) \) (Abb. 6) .
Suchen Sie die Abszisse des Punktes \(\ x_(0) \) , der das Ende eines der Intervalle ist, in denen die Ungleichung \(\ x_(0)=\operatorname(arcctg)\left(-\frac(\ sqrt(3))( 3)\right)=\pi-\operatorname(arcctg)\left(\frac(\sqrt(3))(3)\right)=\pi-\frac(\pi)(3 )=\frac(2\pi)(3)\)
Das andere Ende dieser Lücke ist der Punkt \(\ \pi \) , und die Funktion \(\ y=\operatorname(ctg) x \) ist an dieser Stelle undefiniert. Eine der Lösungen dieser Ungleichung ist also das Intervall \(\ \frac(2 \pi)(3) \leq x
Trigonometrische Ungleichungen mit komplexem Argument
Trigonometrische Ungleichungen mit einem komplexen Argument können durch Substitution auf die einfachsten trigonometrischen Ungleichungen reduziert werden. Nach dem Lösen wird die umgekehrte Substitution durchgeführt und die ursprüngliche Unbekannte ausgedrückt.
Löse die Ungleichung \(\ 2 \cos \left(2 x+100^(\circ)\right) \leq-1 \)
Drücken Sie den Kosinus auf der rechten Seite dieser Ungleichung aus: \(\ \cos \left(2 x+100^(\circ)\right) \leq-\frac(1)(2) \)
Wir führen die Ersetzung \(\ t=2 x+100^(\circ) \) durch, wonach diese Ungleichung in die einfachste Ungleichung \(\ \cos t \leq-\frac(1)(2) \ )
Lösen wir es mit dem Einheitskreis. Konstruieren wir einen Einheitskreis und eine Gerade \(\ x=-\frac(1)(2) \) . Als Schnittpunkte der Geraden und des Einheitskreises bezeichnen wir \(\ P_(1) \) und \(\ P_(2) \) (Abb. 7).
Die Lösung der ursprünglichen Ungleichung ist die Menge der Abszissenpunkte, die höchstens \(\ -\frac(1)(2) \) sind. Der Punkt \(\ P_(1) \) entspricht dem Winkel \(\ 120^(\circ) \) , und der Punkt \(\ P_(2) \) . Bei gegebener Kosinusperiode erhalten wir also \(\ 120^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \leq t \leq 240^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \ ) , \(\ n \in Z \)
Wir machen die umgekehrte Substitution \(\ t=2 x+100^(\circ) 120^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \leq 2 x+100^(\circ) \leq 240^ (\ circ)+360^(\circ) \cdot n \), \(\ n \in Z \)
Wir drücken \(\ \mathbf(x) \) aus, dazu subtrahieren wir zuerst \(\ 100^(\circ) 120^(\circ)-100^(\circ)+360^(\circ) \ cdot n \leq 2 x+100^(\circ)-100^(\circ) \leq 240^(\circ)-100^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \), \( \ n\in Z\); \(\ 20^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \leq 2 x \leq 140^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \), \(\ n \in Z\)
und dann dividiere durch 2 \(\ \frac(20^(\circ)+360^(\circ) \cdot n)(2) \leq \frac(2 x)(2) \leq \frac(140^). (\circ)+360^(\circ) \cdot n)(2) \), \(\ n \in Z \); \(\ 10^(\circ)+180^(\circ) \cdot n \leq x \leq 70^(\circ)+180^(\circ) \cdot n \), \(\ n \in Z \)
Doppelte trigonometrische Ungleichungen
Lösen Sie die doppelte trigonometrische Ungleichung \(\ \frac(1)(2)
Führen wir die Ersetzung \(\ t=\frac(x)(2) \) ein, dann nimmt die ursprüngliche Ungleichung die Form \(\ \frac(1)(2) an
Lösen wir es mit dem Einheitskreis. Da die Ordinatenachse dem Sinus auf dem Einheitskreis entspricht, wählen wir darauf die Menge der Ordinaten aus, die größer als \(\ x=\frac(1)(2) \) und kleiner oder gleich \(\ \frac(\sqrt(2))(2 ) \) . In Abbildung 8 befinden sich diese Punkte auf den Bögen \(\ P_(t_(1)) \), \(\ P_(t_(2)) \) und \(\ P_(t_(3)) \) , \( \ P_(t_(4)) \) . Lassen Sie uns den Wert \(\ t_(1) \), \(\ t_(2) \), \(\ t_(3) \), \(\ t_(4) \) finden und eine Tour gegen den Uhrzeigersinn machen, und \ (\ t_(1) \(\ t_(3)=\pi-\arcsin \frac(\sqrt(2))(2)=\pi-\frac(\pi)(4)=\frac(3 \ pi)(4) \); \(\ t_(4)=\pi-\arcsin \frac(1)(2)=\pi-\frac(\pi)(6)=\frac(5 \pi ) (6)\)
Somit erhalten wir zwei Intervalle, die sich unter Berücksichtigung der Periodizität der Sinusfunktion wie folgt schreiben lassen: \(\ \frac(\pi)(6)+2 \pi k \leq t \frac(\pi) (4)+2 \pi k \quad \frac(3 \pi)(4)+2 \pi k leq \frac(x)(2) \frac(\pi)(4)+2 \pi k \) , \(\ \frac(3 \pi)(4)+2 \pi k Express \(\ \mathbf( x) \), dazu multiplizieren wir alle Seiten beider Ungleichungen mit 2, wir erhalten \(\ \frac (\pi)(3)+4 \pi k \leq x
Ungleichungen sind Relationen der Form a › b, wobei a und b Ausdrücke sind, die mindestens eine Variable enthalten. Ungleichungen können streng sein – ‹, › und nicht streng – ≥, ≤.
Trigonometrische Ungleichungen sind Ausdrücke der Form: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, wobei F(x) durch eine oder mehrere trigonometrische Funktionen dargestellt wird .
Ein Beispiel für die einfachste trigonometrische Ungleichung ist: sin x ‹ 1/2. Es ist üblich, solche Probleme grafisch zu lösen, dazu wurden zwei Methoden entwickelt.
Methode 1 - Lösen von Ungleichungen durch Zeichnen einer Funktion
Um ein Intervall zu finden, das die Bedingungen der Ungleichung sin x ‹ 1/2 erfüllt, müssen Sie Folgendes tun:
- Konstruieren Sie auf der Koordinatenachse eine Sinuskurve y = sin x.
- Zeichne auf derselben Achse einen Graphen des numerischen Arguments der Ungleichung, d. h. eine gerade Linie, die durch den Punkt ½ der OY-Ordinate verläuft.
- Markieren Sie die Schnittpunkte der beiden Graphen.
- Schraffieren Sie das Segment, das die Lösung des Beispiels ist.
Bei starken Vorzeichen in einem Ausdruck sind die Schnittpunkte keine Lösungen. Da die kleinste positive Periode der Sinuskurve 2π ist, schreiben wir die Antwort wie folgt:
Wenn die Vorzeichen des Ausdrucks nicht streng sind, muss das Lösungsintervall in eckige Klammern eingeschlossen werden - . Die Lösung des Problems kann auch als eine weitere Ungleichung geschrieben werden:
Methode 2 - Lösen trigonometrischer Ungleichungen mit dem Einheitskreis
Ähnliche Probleme lassen sich leicht mit Hilfe eines trigonometrischen Kreises lösen. Der Suchalgorithmus ist sehr einfach:
- Zeichne zuerst einen Einheitskreis.
- Dann müssen Sie den Wert der Bogenfunktion des Arguments der rechten Seite der Ungleichung auf dem Kreisbogen notieren.
- Es ist notwendig, eine gerade Linie zu zeichnen, die durch den Wert der Bogenfunktion parallel zur x-Achse (OX) verläuft.
- Danach bleibt nur noch der Kreisbogen auszuwählen, der die Lösungsmenge der trigonometrischen Ungleichung darstellt.
- Schreiben Sie die Antwort in der erforderlichen Form.
Analysieren wir die Lösungsschritte am Beispiel der Ungleichung sin x › 1/2. Auf dem Kreis sind die Punkte α und β markiert – die Werte
Die Punkte des Bogens, die über α und β liegen, sind das Intervall zum Lösen der gegebenen Ungleichung.
Wenn Sie ein Beispiel für cos lösen müssen, befindet sich der Antwortbogen symmetrisch zur OX-Achse und nicht zu OY. Den Unterschied zwischen den Lösungsintervallen für sin und cos können Sie den Diagrammen unten im Text entnehmen.
Grafische Lösungen für Tangens- und Kotangens-Ungleichungen unterscheiden sich sowohl von Sinus als auch von Cosinus. Dies liegt an den Eigenschaften von Funktionen.
Arkustangens und Arkotangens sind Tangenten an den trigonometrischen Kreis, und die minimale positive Periode für beide Funktionen ist π. Um die zweite Methode schnell und korrekt anwenden zu können, müssen Sie sich merken, auf welcher Achse die Werte von sin, cos, tg und ctg aufgetragen sind.
Die Tangente Tangente verläuft parallel zur OY-Achse. Wenn wir den Wert von arctg a auf dem Einheitskreis auftragen, dann liegt der zweite erforderliche Punkt im Diagonalviertel. Ecken
Sie sind Haltepunkte für die Funktion, da der Graph zu ihnen tendiert, sie aber nie erreicht.
Beim Kotangens verläuft die Tangente parallel zur OX-Achse und die Funktion wird an den Punkten π und 2π unterbrochen.
Wenn das Argument der Ungleichungsfunktion nicht nur durch eine Variable repräsentiert wird, sondern durch einen ganzen Ausdruck, der eine Unbekannte enthält, dann sprechen wir von einer komplexen Ungleichung. Der Verlauf und die Reihenfolge seiner Lösung unterscheiden sich etwas von den oben beschriebenen Methoden. Angenommen, wir müssen eine Lösung für die folgende Ungleichung finden:
Die grafische Lösung sieht die Konstruktion einer gewöhnlichen Sinuskurve y = sin x für beliebig gewählte Werte von x vor. Lassen Sie uns eine Tabelle mit Koordinaten für die Referenzpunkte des Diagramms berechnen:
Das Ergebnis sollte eine schöne Kurve sein.
Um das Finden einer Lösung zu erleichtern, ersetzen wir das komplexe Funktionsargument
Durch den Schnittpunkt zweier Graphen können Sie den Bereich der gewünschten Werte bestimmen, für die die Ungleichheitsbedingung erfüllt ist.
Das gefundene Segment ist die Lösung für die Variable t:
Ziel der Aufgabe ist es jedoch, alle möglichen Varianten des unbekannten x zu finden:
Das Lösen der doppelten Ungleichung ist ganz einfach, Sie müssen π / 3 an die äußersten Teile der Gleichung verschieben und die erforderlichen Berechnungen durchführen:
Antwort auf die Aufgabe wird wie ein Intervall für strikte Ungleichheit aussehen:
Solche Aufgaben erfordern die Erfahrung und das Geschick der Schüler im Umgang mit trigonometrischen Funktionen. Je mehr Trainingsaufgaben im Vorbereitungsprozess gelöst werden, desto einfacher und schneller findet der Schüler die Antwort auf die Frage des Examenstests.
Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen
Erinnern wir uns zunächst an die Formeln zur Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen.
- $sinx=a$
- $cosx=a$
- $tgx=a$
- $ctgx=a$
Lösung der einfachsten trigonometrischen Ungleichungen.
Um die einfachsten trigonometrischen Ungleichungen zu lösen, müssen wir zuerst die entsprechende Gleichung lösen und dann mithilfe des trigonometrischen Kreises eine Lösung für die Ungleichung finden. Betrachten Sie die Lösungen der einfachsten trigonometrischen Ungleichungen anhand von Beispielen.
Beispiel 1
$sinx\ge \frac(1)(2)$
Finden Sie eine Lösung für die trigonometrische Ungleichung $sinx=\frac(1)(2)$
\ \
Abbildung 1. Lösung der Ungleichung $sinx\ge \frac(1)(2)$.
Da die Ungleichung ein „größer als oder gleich“-Zeichen hat, liegt die Lösung auf dem oberen Kreisbogen (bezogen auf die Lösung der Gleichung).
Antwort: $\left[\frac(\pi )(6)+2\pi n,\frac(5\pi )(6)+2\pi n\right]$.
Beispiel 2
Finden Sie eine Lösung für die trigonometrische Ungleichung $cosx=\frac(\sqrt(3))(2)$
\ \
Notieren Sie die Lösung auf dem trigonometrischen Kreis
Da die Ungleichung ein „kleiner als“-Zeichen hat, liegt die Lösung auf dem (bezogen auf die Lösung der Gleichung) links liegenden Kreisbogen.
Antwort: $\left(\frac(\pi )(6)+2\pi n,\frac(11\pi )(6)+2\pi n\right)$.
Beispiel 3
$tgx\le \frac(\sqrt(3))(3)$
Finden Sie eine Lösung für die trigonometrische Ungleichung $tgx=\frac(\sqrt(3))(3)$
\ \
Auch hier brauchen wir einen Definitionsbereich. Wie wir uns erinnern, ist die Tangensfunktion $x\ne \frac(\pi )(2)+\pi n,n\in Z$
Notieren Sie die Lösung auf dem trigonometrischen Kreis
Abbildung 3. Lösung der Ungleichung $tgx\le \frac(\sqrt(3))(3)$.
Da die Ungleichung ein „kleiner oder gleich“-Zeichen hat, liegt die Lösung auf den in Abbildung 3 blau markierten Bögen des Kreises.
Antwort: $\ \left(-\frac(\pi )(2)+2\pi n\right.,\left.\frac(\pi )(6)+2\pi n\right]\cup \left (\frac(\pi )(2)+2\pi n,\right.\left.\frac(7\pi )(6)+2\pi n\right]$
Beispiel 4
Finden Sie eine Lösung für die trigonometrische Ungleichung $ctgx=\sqrt(3)$
\ \
Auch hier brauchen wir einen Definitionsbereich. Wie wir uns erinnern, ist die Tangensfunktion $x\ne \pi n,n\in Z$
Notieren Sie die Lösung auf dem trigonometrischen Kreis
Abbildung 4. Lösung der Ungleichung $ctgx\le \sqrt(3)$.
Da die Ungleichung ein „größer als“-Zeichen hat, liegt die Lösung auf den in Abbildung 4 blau markierten Bögen des Kreises.
Antwort: $\ \left(2\pi n,\frac(\pi )(6)+2\pi n\right)\cup \left(\pi +2\pi n,\frac(7\pi )( 6)+2\pi n\right)$
METHODEN ZUR LÖSUNG TRIGONOMETRISCHER UNGLEICHHEITEN
Relevanz. In der Vergangenheit haben trigonometrische Gleichungen und Ungleichungen einen besonderen Platz im Schullehrplan eingenommen. Wir können sagen, dass die Trigonometrie einer der wichtigsten Bereiche des Schulunterrichts und der gesamten mathematischen Wissenschaft im Allgemeinen ist.
Trigonometrische Gleichungen und Ungleichungen nehmen einen der zentralen Plätze in einem Mathematikkurs der Oberstufe ein, sowohl in Bezug auf den Inhalt des Unterrichtsmaterials als auch auf die Methoden der pädagogischen und kognitiven Aktivität, die während des Studiums gebildet und zur Lösung eines großen Problems angewendet werden können und sollten Reihe von Problemen theoretischer und angewandter Art. .
Die Lösung trigonometrischer Gleichungen und Ungleichungen schafft die Voraussetzungen für die Systematisierung des studentischen Wissens in Bezug auf alle Lehrmaterialien der Trigonometrie (z. B. die Eigenschaften trigonometrischer Funktionen, Methoden zur Transformation trigonometrischer Ausdrücke usw.) und ermöglicht es, effektive Verbindungen herzustellen das untersuchte Material in Algebra (Gleichungen, Äquivalenz von Gleichungen, Ungleichungen, identische Transformationen von algebraischen Ausdrücken usw.).
Mit anderen Worten bedeutet die Betrachtung von Methoden zur Lösung trigonometrischer Gleichungen und Ungleichungen eine Art Übertragung dieser Fähigkeiten auf einen neuen Inhalt.
Die Bedeutung der Theorie und ihre zahlreichen Anwendungen belegen die Aktualität des gewählten Themas. Dies wiederum ermöglicht es Ihnen, Ziele, Ziele und Forschungsgegenstand der Studienleistungen festzulegen.
Zweck der Studie: Verallgemeinern Sie die verfügbaren Arten trigonometrischer Ungleichungen, grundlegende und spezielle Methoden zu ihrer Lösung, wählen Sie eine Reihe von Aufgaben zur Lösung trigonometrischer Ungleichungen durch Schulkinder aus.
Forschungsschwerpunkte:
1. Systematisieren Sie das Material auf der Grundlage der Analyse der verfügbaren Literatur zum Forschungsthema.
2. Geben Sie eine Reihe von Aufgaben, die notwendig sind, um das Thema "Trigonometrische Ungleichungen" zu festigen.
Studienobjekt sind trigonometrische Ungleichungen im Schulmathematikunterricht.
Gegenstand der Studie: Arten trigonometrischer Ungleichungen und Methoden zu ihrer Lösung.
Theoretische Bedeutung ist, das Material zu organisieren.
Praktische Bedeutung: Anwendung theoretischen Wissens bei der Lösung von Problemen; Analyse der wichtigsten häufig anzutreffenden Methoden zur Lösung trigonometrischer Ungleichungen.
Forschungsmethoden Schlüsselwörter: Analyse der wissenschaftlichen Literatur, Synthese und Verallgemeinerung des erworbenen Wissens, Analyse der Lösung von Aufgaben, Suche nach optimalen Methoden zur Lösung von Ungleichungen.
§ein. Arten von trigonometrischen Ungleichungen und grundlegende Methoden zu ihrer Lösung
1.1. Die einfachsten trigonometrischen Ungleichungen
Zwei trigonometrische Ausdrücke, die durch ein Zeichen oder > verbunden sind, heißen trigonometrische Ungleichungen.
Eine trigonometrische Ungleichung zu lösen bedeutet, eine Reihe von Werten der in der Ungleichung enthaltenen Unbekannten zu finden, unter denen die Ungleichung erfüllt ist.
Der Hauptteil der trigonometrischen Ungleichungen wird gelöst, indem man sie auf die Lösung der einfachsten reduziert:
Dies kann eine Methode der Faktorisierung, Änderung der Variablen (
Die einfachsten Ungleichungen werden auf zwei Arten gelöst: mit dem Einheitskreis oder grafisch.
Lassenf(x ist eine der grundlegenden trigonometrischen Funktionen. Um die Ungleichung zu lösen
Lassen Sie uns ein Beispiel für einen
Algorithmus zum Lösen von Ungleichungen geben
Algorithmus zur Lösung der Ungleichung
1. Formulieren Sie die Definition des Sinus einer Zahlxauf dem Einheitskreis.
3. Markieren Sie auf der y-Achse einen Punkt mit der Koordinatea.
4. Ziehen Sie durch diesen Punkt eine Linie parallel zur OX-Achse und markieren Sie deren Schnittpunkte mit dem Kreis.
5. Wählen Sie einen Kreisbogen aus, dessen alle Punkte eine kleinere Ordinate als habena.
6. Geben Sie die Richtung der Überbrückung an (gegen den Uhrzeigersinn) und schreiben Sie das Ergebnis auf, indem Sie die Periode der Funktion an die Enden des Intervalls addieren2πn,
Algorithmus zur Lösung der Ungleichung
1. Formulieren Sie die Definition des Tangens einer Zahlxauf dem Einheitskreis.
2. Zeichnen Sie einen Einheitskreis.
3. Zeichnen Sie eine Tangentenlinie und markieren Sie darauf einen Punkt mit einer Ordinatea.
4. Verbinden Sie diesen Punkt mit dem Ursprung und markieren Sie den Schnittpunkt der resultierenden Strecke mit dem Einheitskreis.
5. Wählen Sie einen Kreisbogen aus, dessen alle Punkte eine Ordinate auf der Tangentenlinie haben, die kleiner als ista.
6. Geben Sie die Richtung
des Durchlaufs an und schreiben Sie die Antwort unter Berücksichtigung des Funktionsumfangs mit einem Punkt aufPn,
Grafische Interpretation von Lösungen zu den einfachsten Gleichungen und Formeln zum Lösen von Ungleichungen in allgemeiner Form sind im Anhang (Anhänge 1 und 2) angegeben.
Beispiel 1 Löse die Ungleichung
Zeichnen Sie eine Linie auf dem Einheitskreis
Alle Wertejauf dem Intervall NM mehr erfüllen alle Punkte des Bogens AMB diese Ungleichung. Bei allen Drehwinkeln groß
Abb.1
Somit wird die Lösung der Ungleichung alle Werte im Intervall sein
jene.
Antworten:
1.2. Grafische Methode
In der Praxis ist oft ein grafisches Verfahren zum Lösen trigonometrischer Ungleichungen sinnvoll. Betrachten Sie das Wesen der Methode am Beispiel der Ungleichung
1. Wenn das Argument komplex ist (anders alsX), dann ersetzen wir es durcht.
2. Wir bauen in einer KoordinatenebenetoOyFunktionsgraphen
3. Wir finden solchezwei benachbarte Schnittpunkte von Graphen, zwischen denensinusförmiggelegenhöhergerade
4. Schreiben Sie eine doppelte Ungleichung für das Argumentt , unter Berücksichtigung der Kosinusperiode (tzwischen den gefundenen Abszissen liegen).
5. Führen Sie eine umgekehrte Substitution durch (kehren Sie zum ursprünglichen Argument zurück) und drücken Sie den Wert ausXaus einer doppelten Ungleichung schreiben wir die Antwort als numerisches Intervall.
Beispiel 2 Lösen Sie die Ungleichung: .
Beim Lösen von Ungleichungen mit einer grafischen Methode ist es notwendig, Funktionsgraphen so genau wie möglich zu erstellen. Transformieren wir die Ungleichung in die Form:
Konstruieren wir Graphen von Funktionen in einem Koordinatensystem
Abb.2
Funktionsgraphen schneiden sich in einem PunktSONDERNmit Koordinaten
Antworten:
1.3. Algebraische Methode
Nicht selten lässt sich die ursprüngliche trigonometrische Ungleichung durch eine gut gewählte Substitution auf eine algebraische (rationale oder irrationale) Ungleichung zurückführen. Bei dieser Methode wird die Ungleichung transformiert, eine Substitution eingeführt oder eine Variable ersetzt.
Betrachten wir die Anwendung dieser Methode auf konkrete Beispiele.
Beispiel 3 Reduktion auf die einfachste Form
Abb. 3
Antworten:
Beispiel 4 Lösen Sie die Ungleichung:
ODZ:
Verwenden von Formeln:
wir schreiben die Ungleichung in der Form:
Oder, vorausgesetzt
Lösen wir die letzte Ungleichung nach der Intervallmethode, erhalten wir:
Abb.4
Abb.5
Antworten:
1.4. Abstandsmethode
Das allgemeine Schema zum Lösen trigonometrischer Ungleichungen nach der Intervallmethode:
Faktorisiere mit trigonometrischen Formeln.
Finden Sie Haltepunkte und Nullstellen der Funktion und setzen Sie sie auf den Kreis.
Nimm irgendeinen PunktZu(aber nicht früher gefunden) und finden Sie das Zeichen des Produkts heraus. Wenn das Produkt positiv ist, setzen Sie einen Punkt außerhalb des Einheitskreises auf den Strahl, der dem Winkel entspricht. Andernfalls platzieren Sie den Punkt innerhalb des Kreises.
Kommt ein Punkt gerade oft vor, nennen wir ihn einen Punkt gerader Multiplizität, kommt er ungerade oft vor, nennen wir ihn einen Punkt ungerader Multiplizität. Zeichnen Sie Bögen wie folgt: Beginnen Sie an einem PunktZu, wenn der nächste Punkt eine ungerade Multiplizität hat, dann schneidet der Bogen den Kreis an diesem Punkt, aber wenn der Punkt eine gerade Multiplizität hat, dann schneidet er sich nicht.
Bögen hinter einem Kreis sind positive Lücken; innerhalb des Kreises befinden sich negative Intervalle.
Beispiel 5 Löse die Ungleichung
Punkte der ersten Serie:
Punkte der zweiten Serie:
Jeder Punkt kommt ungerade oft vor, d. h. alle Punkte haben eine ungerade Multiplizität.
Finden Sie das Zeichen des Produkts unter heraus
Reis. 6
Antworten:
Beispiel 6 . Löse die Ungleichung.
Entscheidung:
Lassen Sie uns die Nullstellen des Ausdrucks finden .
Werdenäm :
Auf dem Einheitskreis ReihenwerteX
1 durch Punkte dargestellt
Lassen Sie nun die Nummer
Also der PunktEINsollte auf dem Strahl gewählt werden, der den Winkel bildet
Nun zur SacheEIN
Wir zeichnen nacheinander eine wellenförmige durchgehende Linie zu allen markierten Punkten. Und an den Punkten
Abb.7
Endgültige Antwort:
Notiz. Wenn die Wellenlinie nach dem Durchlaufen aller auf dem Einheitskreis markierten Punkte nicht zum Punkt zurückgeführt werden kannEIN, ohne den Kreis an einer „illegalen“ Stelle zu kreuzen, bedeutet dies, dass bei der Lösung ein Fehler gemacht wurde, nämlich eine ungerade Anzahl von Wurzeln weggelassen wurde.
Antworten: .
§2. Eine Reihe von Aufgaben zur Lösung trigonometrischer Ungleichungen
Bei der Entwicklung der Fähigkeit von Schulkindern, trigonometrische Ungleichungen zu lösen, können auch 3 Stufen unterschieden werden.
1. vorbereitend,
2. Bildung von Fähigkeiten zur Lösung der einfachsten trigonometrischen Ungleichungen;
3. Einführung trigonometrischer Ungleichungen anderer Art.
Der Zweck der Vorbereitungsphase besteht darin, dass Schulkinder die Fähigkeit entwickeln müssen, einen trigonometrischen Kreis oder ein trigonometrisches Diagramm zu verwenden, um Ungleichungen zu lösen, nämlich:
Fähigkeit, einfache Ungleichungen der Form zu lösen
Fähigkeit, doppelte Ungleichungen für Bögen eines numerischen Kreises oder für Bögen von Graphen von Funktionen zu machen;
Fähigkeit, verschiedene Transformationen trigonometrischer Ausdrücke durchzuführen.
Es wird empfohlen, diese Phase in den Prozess der Systematisierung des Wissens der Schüler über die Eigenschaften trigonometrischer Funktionen aufzunehmen. Das Hauptmittel können Aufgaben sein, die den Schülern angeboten und entweder unter Anleitung eines Lehrers oder unabhängig durchgeführt werden, sowie Fähigkeiten, die beim Lösen trigonometrischer Gleichungen erworben wurden.
Hier sind Beispiele für solche Aufgaben:
1 . Markieren Sie einen Punkt auf dem Einheitskreis
.
2. In welchem Viertel der Koordinatenebene liegt der Punkt
3. Markieren Sie Punkte auf dem trigonometrischen Kreis
4. Bringen Sie den Ausdruck auf trigonometrische FunktionenichViertel.
a)
5. Angesichts des Lichtbogens MR.M- Mitteichviertel,R- MitteIIQuartal. Beschränken Sie den Wert einer Variablentfor: (bilde eine doppelte Ungleichung) a) arc MP; b) RM-Bögen.
6. Schreiben Sie eine doppelte Ungleichung für die ausgewählten Abschnitte des Diagramms:
Reis. ein
7. Ungleichungen lösen
8. Ausdruck umwandeln .
In der zweiten Phase des Lernens zum Lösen trigonometrischer Ungleichungen können wir die folgenden Empfehlungen in Bezug auf die Methodik zum Organisieren von Schüleraktivitäten anbieten. Gleichzeitig ist es notwendig, sich auf die Fähigkeiten der Schüler zu konzentrieren, mit einem trigonometrischen Kreis oder Graphen zu arbeiten, die während der Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen gebildet werden.
Erstens ist es möglich, die Zweckmäßigkeit zu begründen, ein allgemeines Verfahren zum Lösen der einfachsten trigonometrischen Ungleichungen zu erhalten, indem man sich beispielsweise auf eine Ungleichung der Form
bezieht
Zweitens sollte der Lehrer die Aufmerksamkeit der Schüler auf verschiedene Möglichkeiten zur Lösung der Aufgabe lenken und ein geeignetes Beispiel für die Lösung der Ungleichung sowohl grafisch als auch mit dem trigonometrischen Kreis geben.
Betrachten Sie solche Optionen zur Lösung der Ungleichung
1. Lösen der Ungleichung mit dem Einheitskreis.
In der ersten Lektion zum Lösen trigonometrischer Ungleichungen bieten wir den Schülern einen detaillierten Lösungsalgorithmus an, der in einer schrittweisen Präsentation alle grundlegenden Fähigkeiten widerspiegelt, die zum Lösen der Ungleichung erforderlich sind.
Schritt 1.Zeichnen Sie einen Einheitskreis, markieren Sie einen Punkt auf der y-Achse
Schritt 2Diese gerade Linie teilte den Kreis in zwei Bögen. Lassen Sie uns diejenige herausgreifen, auf der Zahlen angezeigt werden, die einen Sinus größer als haben
Reis. 2
Schritt 3Wählen wir eines der Enden des markierten Bogens. Schreiben wir eine
der Zahlen auf, die durch diesen Punkt des Einheitskreises repräsentiert wird
Schritt 4Um eine Nummer zu wählen, die dem zweiten Ende des ausgewählten Bogens entspricht, "übergeben" wir diesen Bogen vom benannten Ende zum anderen. Gleichzeitig erinnern wir uns daran, dass die Zahlen, die wir passieren,
zunehmen, wenn wir uns gegen den Uhrzeigersinn bewegen (wenn wir uns in die entgegengesetzte Richtung bewegen, würden die Zahlen abnehmen). Schreiben wir die Zahl auf, die auf dem Einheitskreis am zweiten Ende des markierten Bogens abgebildet ist
So sehen wir, dass die Ungleichheit
Die Schüler sollten gebeten werden, die Figur sorgfältig zu betrachten und herauszufinden, warum alle Lösungen für die Ungleichung
Reis. 3
Die Aufmerksamkeit der Schüler muss darauf gelenkt werden, dass wir beim Lösen von Ungleichungen für die Kosinusfunktion eine gerade Linie parallel zur y-Achse zeichnen.
Grafischer Weg, um die Ungleichung zu lösen.
Erstellen von Diagrammen
Reis. 4
Dann schreiben
wir die Gleichung
(GebennWerte 0, 1, 2 finden wir drei Wurzeln der zusammengesetzten Gleichung). Werte
Reis. 5
Zusammenfassen. Um die Ungleichung zu lösen
Drittens wird die Tatsache über die Menge der Wurzeln der entsprechenden trigonometrischen Ungleichung sehr deutlich bestätigt, wenn man sie graphisch löst.
Reis. 6
Es ist notwendig, den Schülern zu zeigen, dass die Spule, die die Lösung der Ungleichung ist, sich durch dasselbe Intervall wiederholt, das gleich der Periode der trigonometrischen Funktion ist. Eine ähnliche Darstellung kannst du dir auch für den Graphen der Sinusfunktion vorstellen.
Viertens ist es ratsam, Arbeiten zur Aktualisierung der Methoden der Schüler zur Umrechnung der Summe (Differenz) trigonometrischer Funktionen in ein Produkt durchzuführen, um die Aufmerksamkeit der Schüler auf die Rolle dieser Techniken bei der Lösung trigonometrischer Ungleichungen zu lenken.
Eine solche Arbeit kann durch die selbstständige Erfüllung der vom Lehrer vorgeschlagenen Aufgaben durch die Schüler organisiert werden, unter denen wir die folgenden hervorheben:
Fünftens müssen die Schüler aufgefordert werden, die Lösung jeder einfachen trigonometrischen Ungleichung mithilfe eines Diagramms oder eines trigonometrischen Kreises zu veranschaulichen. Achten Sie unbedingt auf seine Zweckmäßigkeit, insbesondere auf die Verwendung eines Kreises, da beim Lösen trigonometrischer Ungleichungen die entsprechende Abbildung als sehr bequemes Mittel dient, um die Lösungsmenge einer bestimmten Ungleichung zu fixieren
Das Kennenlernen von Schülern mit Methoden zur Lösung trigonometrischer Ungleichungen, die nicht die einfachsten sind, sollte nach folgendem Schema erfolgen: Bezug auf eine bestimmte trigonometrische Ungleichung Bezug auf die entsprechende trigonometrische Gleichung Gemeinsame Suche (Lehrer - Schüler) nach einer Lösung Unabhängiger Transfer der gefundenen Technik auf andere Ungleichungen des gleichen Typs.
Um das Wissen der Schüler über Trigonometrie zu systematisieren, empfehlen wir, solche Ungleichungen gezielt auszuwählen, deren Lösung verschiedene Transformationen erfordert, die im Lösungsprozess implementiert werden können, um die Aufmerksamkeit der Schüler auf ihre Merkmale zu lenken.
Als solche produktiven Ungleichheiten können wir beispielsweise Folgendes vorschlagen:
Abschließend geben wir ein Beispiel für eine Reihe von Problemen zur Lösung trigonometrischer Ungleichungen.
1. Lösen Sie die Ungleichungen:
2. Lösen Sie die Ungleichungen: 3. Finde alle Lösungen von Ungleichungen: 4. Finde alle Lösungen von Ungleichungen:
a)
b)
5. Finde alle Lösungen von Ungleichungen:
a) ;
b) ;
in)
G)
e)
6. Lösen Sie die Ungleichungen:
a) ;
b) ;
in) ;
G)
e) ;
e) ;
g)
7. Lösen Sie die Ungleichungen:
a)
b) ;
in) ;
G) .
8. Lösen Sie die Ungleichungen:
a) ;
b) ;
in) ;
G)
e)
e) ;
g)
h) .
Es ist ratsam, die Aufgaben 6 und 7 Schülern anzubieten, die Mathematik auf fortgeschrittenem Niveau studieren, Aufgabe 8 - Schülern in Klassen mit vertieftem Mathematikstudium.
§3. Spezielle Methoden zur Lösung trigonometrischer Ungleichungen
Spezielle Methoden zum Lösen trigonometrischer Gleichungen - also solche Methoden, die nur zum Lösen trigonometrischer Gleichungen verwendet werden können. Diese Methoden basieren auf der Verwendung der Eigenschaften trigonometrischer Funktionen sowie auf der Verwendung verschiedener trigonometrischer Formeln und Identitäten.
3.1. Sektormethode
Betrachten Sie die Sektormethode zur Lösung trigonometrischer Ungleichungen. Lösung von Ungleichungen der Form
Bei der Intervallmethode besteht jeder lineare Faktor aus Zähler und Nenner der Form
Folgendes ist zu beachten:
a) Multiplikatoren der Form
b) Multiplikatoren der Form
Beispiel 1
Ungleichungen lösen: a)
3.2. Methode des konzentrischen Kreises
Diese Methode ist analog zur Methode der parallelen numerischen Achsen beim Lösen von Systemen rationaler Ungleichungen.
Betrachten Sie ein Beispiel für ein System von Ungleichheiten.
Beispiel 5Lösen Sie ein System einfacher trigonometrischer Ungleichungen
Zuerst lösen wir jede Ungleichung separat (Abbildung 5). In der oberen rechten Ecke der Abbildung geben wir an, für welches Argument der trigonometrische Kreis betrachtet wird.
Abb.5
Als nächstes bauen wir ein System aus konzentrischen Kreisen für das ArgumentX. Wir zeichnen einen Kreis und schattieren ihn nach der Lösung der ersten Ungleichung, dann zeichnen wir einen Kreis mit größerem Radius und schattieren ihn nach der Lösung der zweiten, dann bauen wir einen Kreis für die dritte Ungleichung und einen Grundkreis . Wir ziehen Strahlen von der Mitte des Systems durch die Enden der Bögen, so dass sie alle Kreise schneiden. Wir bilden eine Lösung auf dem Grundkreis (Abbildung 6).
Abb.6
Antworten:
Fazit
Alle Ziele der Kursarbeit wurden erfüllt. Das theoretische Material wird systematisiert: Die wichtigsten Arten trigonometrischer Ungleichungen und die wichtigsten Methoden zu ihrer Lösung (grafisch, algebraisch, Methode der Intervalle, Sektoren und die Methode der konzentrischen Kreise) werden angegeben. Für jede Methode wurde ein Beispiel zur Lösung einer Ungleichung angegeben. Auf den theoretischen Teil folgte der praktische Teil. Es enthält eine Reihe von Aufgaben zur Lösung trigonometrischer Ungleichungen.
Diese Studienarbeit kann von den Studierenden für selbstständiges Arbeiten genutzt werden. Die Schüler können den Grad der Assimilation dieses Themas überprüfen und die Ausführung von Aufgaben unterschiedlicher Komplexität üben.
Nachdem wir die einschlägige Literatur zu diesem Thema durchgearbeitet haben, können wir offensichtlich feststellen, dass die Fähigkeit und Fertigkeiten zum Lösen trigonometrischer Ungleichungen im Schulkurs der Algebra und der Beginn der Analysis sehr wichtig sind, deren Entwicklung erhebliche Anstrengungen von Seiten erfordert der Mathematiklehrer.
Daher wird diese Arbeit für Mathematiklehrer nützlich sein, da sie es ermöglicht, die Ausbildung von Schülern zum Thema "Trigonometrische Ungleichungen" effektiv zu organisieren.
Das Studium kann durch Erweiterung auf die Abschlussqualifikationsarbeit fortgesetzt werden.
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Anhang 1
Grafische Interpretation von Lösungen für die einfachsten Ungleichungen
Reis. ein
Reis. 2
Abb. 3
Abb.4
Abb.5
Abb.6
Abb.7
Abb.8
Anhang 2
Lösungen für die einfachsten Ungleichungen
In der praktischen Stunde wiederholen wir die wichtigsten Aufgabentypen aus dem Thema "Trigonometrie", analysieren zusätzlich Probleme mit erhöhter Komplexität und betrachten Beispiele zur Lösung verschiedener trigonometrischer Ungleichungen und ihrer Systeme.
Diese Lektion hilft Ihnen, sich auf eine der Aufgabenarten B5, B7, C1 und C3 vorzubereiten.
Beginnen wir damit, die wichtigsten Arten von Aufgaben zu wiederholen, die wir im Thema Trigonometrie betrachtet haben, und lösen einige nicht standardmäßige Aufgaben.
Aufgabe 1. Konvertieren Sie Winkel in Bogenmaß und Grad: a) ; b) .
a) Verwenden Sie die Formel zur Umrechnung von Grad in Bogenmaß
Setzen Sie den angegebenen Wert ein.
b) Wenden Sie die Formel zur Umrechnung von Bogenmaß in Grad an
Führen wir die Ersetzung durch
Antworten. a) ; b) .
Aufgabe Nr. 2. Berechnen Sie: a) ; b) .
a) Da der Winkel weit außerhalb der Tabelle liegt, reduzieren wir ihn, indem wir die Periode des Sinus subtrahieren. weil der Winkel wird im Bogenmaß angegeben, dann wird die Periode als betrachtet.
b) In diesem Fall ist die Situation ähnlich. Da der Winkel in Grad angegeben wird, betrachten wir die Periode der Tangente als .
Der resultierende Winkel ist zwar kleiner als der Punkt, aber größer, was bedeutet, dass er sich nicht mehr auf den Haupt-, sondern auf den erweiterten Teil der Tabelle bezieht. Um unser Gedächtnis nicht noch einmal durch das Auswendiglernen einer erweiterten Tabelle von Trigofunktionswerten zu trainieren, subtrahieren wir die Tangentenperiode erneut:
Wir haben uns die Eigenartigkeit der Tangensfunktion zunutze gemacht.
Antworten. a) 1; b) .
Aufgabe Nr. 3. Berechnung
Wir bringen den gesamten Ausdruck auf Tangenten, indem wir Zähler und Nenner des Bruchs durch dividieren. Gleichzeitig können wir das nicht befürchten, denn in diesem Fall würde der Wert der Tangente nicht existieren.
Aufgabe Nr. 4. Den Ausdruck vereinfachen.
Die angegebenen Ausdrücke werden mithilfe von Umwandlungsformeln konvertiert. Es ist nur so, dass sie ungewöhnlich mit Abstufungen geschrieben werden. Der erste Ausdruck ist im Allgemeinen eine Zahl. Vereinfache der Reihe nach alle Trigofunktionen:
weil , dann geht die Funktion in eine Kofunktion über, d.h. zum Kotangens, und der Winkel fällt in das zweite Viertel, in dem das Vorzeichen des ursprünglichen Tangens negativ ist.
Aus den gleichen Gründen wie im vorherigen Ausdruck ändert sich die Funktion in eine Kofunktion, d.h. zum Kotangens, und der Winkel fällt in das erste Viertel, in dem der Anfangstangens ein positives Vorzeichen hat.
Ersetzen Sie alles in einen vereinfachten Ausdruck:
Aufgabe Nr. 5. Den Ausdruck vereinfachen.
Schreiben wir den Tangens des Doppelwinkels nach der entsprechenden Formel und vereinfachen den Ausdruck:
Die letzte Identität ist eine der universellen Ersatzformeln für Kosinus.
Aufgabe Nr. 6. Berechnung .
Die Hauptsache ist, keinen Standardfehler zu machen und keine Antwort zu geben, dass der Ausdruck gleich ist. Es ist unmöglich, die Haupteigenschaft des Arcus Tangens zu verwenden, solange sich daneben ein Faktor in Form einer Zwei befindet. Um es loszuwerden, schreiben wir den Ausdruck nach der Formel für die Tangente eines Doppelwinkels, während wir ihn als gewöhnliches Argument behandeln.
Jetzt ist es bereits möglich, die Haupteigenschaft des Arkustangens anzuwenden, denken Sie daran, dass es keine Einschränkungen für sein numerisches Ergebnis gibt.
Aufgabe Nr. 7. Löse die Gleichung.
Beim Lösen einer Bruchgleichung, die gleich Null ist, wird immer angezeigt, dass der Zähler Null ist und der Nenner nicht, weil du kannst nicht durch null teilen.
Die erste Gleichung ist ein Spezialfall der einfachsten Gleichung, die mit einem trigonometrischen Kreis gelöst wird. Denken Sie selbst über diese Lösung nach. Die zweite Ungleichung löst man als einfachste Gleichung mit der allgemeinen Formel für die Wurzeln der Tangente, aber nur mit dem Vorzeichen ungleich.
Wie wir sehen können, schließt eine Familie von Wurzeln eine andere genau dieselbe Familie von Wurzeln aus, die die Gleichung nicht erfüllen. Jene. es gibt keine wurzeln.
Antworten. Es gibt keine Wurzeln.
Aufgabe Nr. 8. Löse die Gleichung.
Beachten Sie sofort, dass Sie den gemeinsamen Faktor herausnehmen können, und tun Sie es:
Die Gleichung wurde auf eine der Standardformen reduziert, wenn das Produkt mehrerer Faktoren gleich Null ist. Wir wissen bereits, dass in diesem Fall entweder einer von ihnen gleich Null ist oder der andere oder der dritte. Wir schreiben dies als Satz von Gleichungen:
Die ersten beiden Gleichungen sind Sonderfälle der einfachsten, wir sind bereits viele Male auf ähnliche Gleichungen gestoßen, daher werden wir sofort ihre Lösungen angeben. Wir reduzieren die dritte Gleichung auf eine Funktion unter Verwendung der Doppelwinkelsinusformel.
Lösen wir die letzte Gleichung separat:
Diese Gleichung hat keine Wurzeln, weil der Wert des Sinus kann nicht darüber hinausgehen
Somit sind nur die ersten beiden Wurzelfamilien die Lösung, sie können zu einer zusammengefasst werden, was sich leicht auf einem trigonometrischen Kreis zeigen lässt:
Dies ist eine Familie aus allen Hälften, d.h.
Kommen wir zur Lösung trigonometrischer Ungleichungen. Analysieren wir zunächst den Ansatz zur Lösung eines Beispiels ohne Verwendung allgemeiner Lösungsformeln, sondern mit Hilfe eines trigonometrischen Kreises.
Aufgabe Nr. 9. Löse die Ungleichung.
Zeichnen Sie eine Hilfslinie auf dem trigonometrischen Kreis, die dem Wert des Sinus gleich entspricht, und zeigen Sie das Winkelintervall, das die Ungleichung erfüllt.
Es ist sehr wichtig, genau zu verstehen, wie man das resultierende Winkelintervall angibt, d. h. was ist sein Anfang und was ist sein Ende. Der Anfang der Lücke ist der Winkel, der dem Punkt entspricht, den wir ganz am Anfang der Lücke betreten werden, wenn wir uns gegen den Uhrzeigersinn bewegen. In unserem Fall ist das der linke Punkt, weil Wenn wir uns gegen den Uhrzeigersinn bewegen und den richtigen Punkt passieren, verlassen wir im Gegenteil das erforderliche Winkelintervall. Der rechte Punkt entspricht daher dem Ende der Lücke.
Jetzt müssen wir die Werte der Anfangs- und Endwinkel unserer Lösungslücke für die Ungleichung verstehen. Ein typischer Fehler besteht darin, sofort anzugeben, dass der rechte Punkt dem Winkel entspricht, der linke und die Antwort zu geben. Das ist nicht wahr! Bitte beachten Sie, dass wir nur das Intervall angegeben haben, das dem oberen Teil des Kreises entspricht, obwohl wir uns für den unteren interessieren, mit anderen Worten, wir haben Anfang und Ende des von uns benötigten Lösungsintervalls vertauscht.
Damit das Intervall an der Ecke des rechten Punkts beginnt und an der Ecke des linken Punkts endet, muss der erste angegebene Winkel kleiner als der zweite sein. Dazu müssen wir den Winkel des rechten Punktes in der negativen Bezugsrichtung messen, d.h. im Uhrzeigersinn und es wird gleich sein. Dann, ausgehend von diesem in positiver Richtung im Uhrzeigersinn, gelangen wir nach dem linken Punkt zum rechten Punkt und erhalten den Winkelwert dafür. Jetzt ist der Anfang des Winkelintervalls kleiner als das Ende von , und wir können das Lösungsintervall ohne Berücksichtigung der Periode schreiben:
Wenn man bedenkt, dass sich solche Intervalle nach einer beliebigen ganzzahligen Anzahl von Umdrehungen unendlich oft wiederholen, erhalten wir die allgemeine Lösung unter Berücksichtigung der Sinusperiode:
Wir setzen runde Klammern, weil die Ungleichung streng ist, und punktieren die Punkte auf dem Kreis, die den Enden des Intervalls entsprechen.
Vergleichen Sie Ihre Antwort mit der Formel für die allgemeine Lösung, die wir in der Vorlesung gegeben haben.
Antworten.
Diese Methode ist gut um zu verstehen, woher die Formeln für allgemeine Lösungen der einfachsten trigonalen Ungleichungen kommen. Außerdem ist es nützlich für diejenigen, die zu faul sind, all diese umständlichen Formeln zu lernen. Die Methode selbst ist jedoch auch nicht einfach. Wählen Sie, welcher Lösungsansatz für Sie am bequemsten ist.
Um trigonometrische Ungleichungen zu lösen, können Sie auch die Funktionsgraphen verwenden, auf denen die Hilfslinie aufgebaut ist, ähnlich der gezeigten Methode anhand des Einheitskreises. Versuchen Sie bei Interesse, diesen Lösungsansatz selbst nachzuvollziehen. Im Folgenden verwenden wir allgemeine Formeln, um die einfachsten trigonometrischen Ungleichungen zu lösen.
Aufgabe Nr. 10. Löse die Ungleichung.
Wir verwenden die allgemeine Lösungsformel, wobei wir berücksichtigen, dass die Ungleichung nicht streng ist:
Wir erhalten in unserem Fall:
Antworten.
Aufgabe Nr. 11. Löse die Ungleichung.
Wir verwenden die allgemeine Lösungsformel für die entsprechende strenge Ungleichung:
Antworten.
Aufgabe Nr. 12. Ungleichungen lösen: a) ; b) .
Bei diesen Ungleichungen sollte man sich nicht beeilen, Formeln für allgemeine Lösungen oder einen trigonometrischen Kreis zu verwenden, es reicht aus, sich nur den Wertebereich von Sinus und Cosinus zu merken.
a) Weil
b) Weil Ebenso erfüllt der Sinus jedes Arguments immer die in der Bedingung angegebene Ungleichung. Daher wird die Ungleichung von allen reellen Werten des Arguments erfüllt.
Antworten. a) es gibt keine Lösungen; b) .
Aufgabe 13. Löse die Ungleichung