Wann ist es ein faires Spiel Stochastik?

Jangler13

Community-Experte

Mathematik, Mathe

06.09.2021, 14:40

Sei X die Zufallsvariable, die die Auszahlungen des Glücksspiels beschreiben (der Einsatz wird hier noch nicht abgezogen).

Wir haben ein Glücksspiel, eine Wahrscheinlichkeitsrechnung mit der Variable x und müssen bestimmen, ob das Spiel fair ist. Dazu brauchen wir den Erwartungswert von x.

Das Spiel besteht aus zwei Münzwürfen, wir tippen auf Wappen. Der Einsatz ist 3€, die Zufallsvariable x ist der Gewinn.

Bei einmal Wappen bekommen wir den Einsatz zurück, der Gewinn ist 0.

Bei zweimal Wappen ist die Auszahlung 5€, also 2€ Gewinn.

Bei nullmal Wappen ist unser Einsatz verloren.

Daraus machen wir nun eine Tabelle:

Wir haben auf der linken Seite die Ereignisse e, nämlich nullmal, einmal und zweimal Wappen. Dann haben wir die Zufallsvariable xi, da haben wir bei nullmal Wappen -3, bei einmal Wappen 0, bei zweimal Wappen 2. Dann die Wahrscheinlichkeit P(x=xi) (auch Pi):

Stellen wir uns das als zweistufiges Baumdiagramm mit jeweils zwei Ausgängen vor. Nullmal Wappen haben wir bei Zahl und Zahl, also beim zweiten Pfad. Beim ersten Wurf haben wir 50%, beim zweiten Mal auch, also insgesamt ein Viertel, die Wahrscheinlichkeit ist 0,25. Einmal Wappen kann man beim ersten Pfad und beim zweiten mit jeweils ein Viertel Wahrscheinlichkeit haben, also insgesamt ein Halb. Zweimal Wappen ist nur der obere Pfad, also wieder 0,25.

Die Wahrscheinlichkeit ist also bei nullmal Wappen 0,25, bei einmal Wappen 0,5, bei zweimal Wappen 0,25.

In der nächsten Spalte multiplizieren wir xi mit x=xi, damit bestimmen wir den Durchschnitt. -3×0,25=-0,75. 0x0,5=0. 2×0,25=0,5. Jetzt schreiben wir den Erwartungswert von x: E(x)(auch µ)= -0,75+0+0,5= -0,25 Der Erwartungswert ist die Summe aus allen Wahrscheinlichkeiten, von allen Werten für die Zufallsvariablen.

Wenn der Erwartungswert negativ ist, dann ist das Spiel (aus Sicht des Spielers) unfair. -0,25 bedeutet, dass ich im Schnitt jedes Mal 25 Cent verlieren. Bei Null wäre es ein faires Spiel, über 0 wäre das Spiel günstig für den Spieler

Das Spiel kann auf zwei Arten zu einem fairen Spiel modifiziert werden, nämlich indem der Einsatz oder der Gewinn modifiziert wird.

Erweiterungsvideos zum fairen Spiel:

und dann können wir dieses Spiel, wenn es denn nicht fair ist auf zwei Arten und Weisen fair machen, einmal über eine Gewinnveränderung:

Als faires Spiel bezeichnet man ein "Spiel", bei dem der Einsatz dem Erwartungswert der Gewinne entspricht.

Beispiel

In einer Lostrommel sind 10 Lose: 9 Nieten (0 €) und ein Hauptgewinn (100 €). Sie kaufen ein Los.

Den Erwartungswert des Gewinns erhält man, indem die Ergebnisse (0 € und 100 €) mit ihren jeweiligen Wahrscheinlichkeiten (9/10 bzw. 90 % und 1/10 bzw. 10 %) multipliziert (gewichtet) werden: 9/10 × 0 € + 1/10 × 100 € = 10 €.

Kostet das Los 10 €, ist das Spiel fair, da der Einsatz dem Erwartungswert entspricht; würde ein Los z. B. 12 € kosten, wäre es in dem Sinne unfair.

Anders berechnet: der Erwartungswert als Differenz von Gewinn und Einsatz ist 0:

Erwartungswert = 9/10 × 0 € + 1/10 × 100 € - 10 € = 0 €.

Man könnte sagen: langfristig heben sich Gewinn und Verlust (hier: der Einsatz) bei dem Spiel auf; und langfristig bedeutet, man spielt dasselbe Spiel oft, z. B. tausendmal.

Faires Spiel bedeutet also nicht, dass die Chancen bzw. die Wahrscheinlichkeiten an sich gleich verteilt sind ("fünfzig-fünfzig"); diese sind noch mit den dazugehörigen Werten zu gewichten.

Etwas seltsam mutet vielleicht an, dass selbst ein positiver Erwartungswert für den Spieler das Spiel zu einem nicht fairen Spiel macht (der Erwartungswert ist eben nicht 0).

Die meisten von professionellen Anbietern betriebenen Glücksspiele wie z. B. Lotto oder Roulette im Spielkasino sind in dem Sinne unfair, da der Einsatz höher als der Erwartungswert der Gewinne ist (die Lotteriegesellschaft bzw. das Casino müssen zum einen noch ihre Kosten decken und wollen zum anderen natürlich auch Überschüsse erzielen).

Die Unfairness kann daher rühren, dass die Wahrscheinlichkeiten schon ungleich verteilt sind (beim Roulette: hier sind zwar z. B. "rot" und "schwarz" gleichwahrscheinlich, durch die "grüne 0" entsteht aber ein Ungleichgewicht zugunsten der Spielbank) oder dass die Gewinnwerte im Gewinnfall zu niedrig angesetzt sind, um die Einsätze auszugleichen (wie beim Lotto).

Der Begriff "Spiel" ist nicht zu eng auszulegen; damit können neben Glücksspielen auch Geschäfte, z. B. Versicherungsverträge betrachtet werden: die Versicherungsprämie (der "Einsatz") liegt i. d. R. über dem Erwartungswert (der Wahrscheinlichkeit des Versicherungsfalls × der Versicherungssumme).

Fazit: Fair bzw. unfair ist hier ein stochastischer Begriff, kein moralischer: Glücksspiele, Versicherungen usw. müssen in dem Sinne unfair sein und einen negativen Erwartungswert für den Spieler bzw. Kunden haben, weil von dem "unfairen Teil" der Betrieb aufrecht erhalten wird; sie können aber natürlich auch in ungerechtfertigt hohem Maße unfair sein.

Wann handelt es sich um ein faires Spiel?

Bei welchem Erwartungswert ist ein Spiel fair?

Was ist ein faires?

Bei welchem Einsatz wäre das Spiel fair?