Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dass mindestens?

RastaKopf

20.02.2021, 08:57

Mindestens: Es dürfen auch mehr sein. Mindestens 10 bedeutet 10 oder mehr.

Höchstens: es dürfen nur weniger sein. Höchstens 30 bedeutet es darf alles sein was 30 oder weniger ist.

Die Binomialverteilung ist eine diskrete Verteilung, deren Zufallsvariable X nur zwei Werte annimmt: 0 = Misserfolg / Niete bzw. 1 = Erfolg / Treffer. Sie entsteht, wenn man ein Bernoulli Experiment (welches nur 2 mögliche Ausgänge hat) n Mal gleich und unverändert wiederholt. Die Grundgesamtheit ändert sich also im Laufe der Wiederholungen nicht, d.h. es handelt sich um ein „Ziehen mit Zurücklegen“.

X heißt binomialverteilt mit den 2 Parametern n und p:

• n … Anzahl der Ziehungen bzw. der Wiederholungen vom Zufallsexperiment, wobei n ∈ N
• p ... Wahrscheinlichkeit für das Auftreten vom Ereignis X, bei jedem einzelnen der n Versuche, mit 0 < p < 1
• k ... Anzahl der Treffer, d.h. das Ereignis X tritt genau k mal ein, mit k=0, 1, 2, ... n

Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass es genau k Treffer gibt:

\(f\left( k \right) = P\left( {X = k} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{array}} \right) \cdot {p^k} \cdot {\left( {1 - p} \right)^{n - k}}\) für k=0, 1, ..,n

Zur Erinnerung: Der Binomialkoeffizient errechnet sich zu: \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{array}} \right) = \dfrac{{n!}}{{k! \cdot \left( {n - k} \right)!}}\)

Bestimmung der Wahrscheinlichkeit einer Binomialverteilung bei unterschiedlichen Grenzen

Ungleichungen im Sprachgebrauch:

• Weniger entspricht <
• Höchstens entspricht \( \le \)
• Mehr entspricht >
• Mindestens entspricht \( \ge \)

genau k Treffer\(P(X = k) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{array}} \right) \cdot {p^k} \cdot {\left( {1 - p} \right)^{\left( {n - k} \right)}}\)höchstens k Treffer\(P\left( {X \le k} \right) = \sum\limits_{i = 0}^k {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ i \end{array}} \right) \cdot {p^i} \cdot {{\left( {1 - p} \right)}^{n - i}}} \)weniger als k Treffer\(P\left( {X < k} \right) = \sum\limits_{i = 0}^{k - 1} {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ i \end{array}} \right) \cdot {p^i} \cdot {{\left( {1 - p} \right)}^{n - i}}} \)mindestens k Treffer\(P\left( {X \ge k} \right) = 1 - P\left( {X \le k - 1} \right) = 1 - \sum\limits_{i = 0}^{k - 1} {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ i \end{array}} \right) \cdot {p^i} \cdot {{\left( {1 - p} \right)}^{n - i}}} \)mehr als k Treffer\(P\left( {X > k} \right) = 1 - P\left( {X \le k} \right) = 1 - \sum\limits_{i = 0}^k {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ i \end{array}} \right) \cdot {p^i} \cdot {{\left( {1 - p} \right)}^{n - i}}} \)mindestens k aber höchstens m Treffer\(\begin{array}{l} P\left( {k \le X \ge m} \right) = P\left( {X \le m} \right) - P\left( {X \le k - 1} \right) = \\ = \sum\limits_{i = 0}^m {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ i \end{array}} \right) \cdot {p^i} \cdot {{\left( {1 - p} \right)}^{n - i}}} - \sum\limits_{i = 0}^{k - 1} {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ i \end{array}} \right) \cdot {p^i} \cdot {{\left( {1 - p} \right)}^{n - i}}} \end{array}\)

Illustration zur Veranschaulichung

Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung mit den Parametern n=10 Wiederholungen und einer Erfolgswahrscheinlichkeit von p=0,3
Zahl aZahl a: Binomial(10, 0.3)Zahl aZahl a: Binomial(10, 0.3)Zahl aZahl a: Binomial(10, 0.3)Zahl aZahl a: Binomial(10, 0.3)Zahl aZahl a: Binomial(10, 0.3)Zahl aZahl a: Binomial(10, 0.3)Zahl aZahl a: Binomial(10, 0.3)Zahl aZahl a: Binomial(10, 0.3)Zahl aZahl a: Binomial(10, 0.3)Zahl aZahl a: Binomial(10, 0.3)Zahl aZahl a: Binomial(10, 0.3)Zahl aZahl a: Binomial(10, 0.3)Zahl aZahl a: Binomial(10, 0.3)Zahl aZahl a: Binomial(10, 0.3)Zahl aZahl a: Binomial(10, 0.3)Zahl aZahl a: Binomial(10, 0.3)Zahl aZahl a: Binomial(10, 0.3)Zahl aZahl a: Binomial(10, 0.3)Zahl aZahl a: Binomial(10, 0.3)Zahl aZahl a: Binomial(10, 0.3)Zahl aZahl a: Binomial(10, 0.3)Zahl aZahl a: Binomial(10, 0.3)Zahl aZahl a: Binomial(10, 0.3)

Laplace Bedingung

Wenn die Laplace Bedingung \(\sigma = \sqrt {n \cdot p \cdot \left( {1 - p} \right)} > 3\) erfüllt ist, kann man die Binomialverteilung durch die Normalverteilung annähern.

Sigma-Umgebungen

Der Erwartungswert ist der Wert mit der größten Wahrscheinlichkeit. Links und rechts vom Erwartungswert gruppieren sich die restlichen binomialverteilten Wahrscheinlichkeiten. Wenn die Streuung groß genug ist, kann man die Binomialverteilung durch die Normalverteilung annähern. Um zu prüfen ob diese Näherung zulässig ist, verwendet man die Laplace Bedingung.

Radius der Sigma Umgebung (also Vielfachen der Standardabweichung):
\(\begin{array}{l} 1\sigma \buildrel \wedge \over = P\left( {\mu - \sigma \le X \le \mu + \sigma } \right) \approx 68\% \\ 2\sigma \buildrel \wedge \over = P\left( {\mu - 2\sigma \le X \le \mu + 2\sigma } \right) \approx 95,5\% \\ 3\sigma \buildrel \wedge \over = P\left( {\mu - 3\sigma \le X \le \mu + 3\sigma } \right) \approx 99,7\% \end{array}\)

Verteilungsfunktion der Binomialverteilung

Verteilungsfunktion der Binomialverteilung gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass es höchstens k Treffer gibt:

\(F\left( k \right) = P\left( {0 \le X \le k} \right) = \sum\limits_{i = 0}^k {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ i \end{array}} \right)} \cdot {p^i} \cdot {\left( {1 - p} \right)^{n - i}}\)

Erwartungswert der Binomialverteilung

\(E\left( X \right) = \mu = n \cdot p\)

Erwartungswert der Binomialverteilung,
wenn die einzelnen Werte der Zufallsvariablen X=xi mit unterschiedlicher Wahrscheinlichkeit vorkommen. 

Der Erwartungswert entspricht der Summe der Werte der Zufallsvariablen X=xi multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von xi also P(X=xi).
\(E(X) = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i} \cdot P\left( {X = {x_i}} \right)} = \mu \)

Varianz der Binomialverteilung

\({\sigma ^2} = Var\left( X \right) = n \cdot p \cdot \left( {1 - p} \right)\)

Standardabweichung der Binomialverteilung

\(\sigma = \sqrt {Var(X)} = \sqrt {n \cdot p \cdot \left( {1 - p} \right)} \)

Binomialverteilung → Normalverteilung

Die Binomialverteilung kann bei großen Stichproben, also bei relativ hohem n, durch die Normalverteilung ersetzt werden. Wobei dann für die Normalverteilung - so wie bei der Binomialverteilung - wie folgt gilt:

• Erwartungswert bei großem n: \(E\left( x \right) = \mu = n \cdot p\)
• Standardabweichung bei großem n: \(\sigma = \sqrt {Var(x)} = \sqrt {n \cdot p \cdot \left( {1 - p} \right)} \)

Hat eine Zufallsvariable X eine Normalverteilung mit beliebigen μ und σ, so kann man die Werte der Normalverteilung mit \(z = \dfrac{{X - \mu }}{\sigma }\) in eine Standardnormalverteilung umrechnen.
Das zugehörige \(\Phi \left( {{z}} \right)\) entnimmt man anschließend der entsprechenden Tabelle für die Standardnormalverteilung.

Bei 2 zum Erwartungswert symmetrisch liegenden Wahrscheinlichkeiten kann man den Umstand, dass \(\left| {{z_{oG}}} \right| = \left| {{z_{uG}}} \right|\) ausnützen und aus speziellen Tabellen für die Standardnormalverteilung direkt den Wert für das Intervall D ablesen.

Binomialverteilung

Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung

Verteilungsfunktion der Binomialverteilung

Erwartungswert Binomialverteilung

Varianz der Binomialverteilung

Diskrete Verteilung

Standardabweichung der Binomialverteilung

Laplace Bedingung

Ungleichungen im Sprachgebrauch

weniger höchstens mehr mindestens

Sigma Umgebung bei Binomialverteilungen

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Lösungsweg

Aufgabe 6024

Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis​

Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst

Der Marketingchef einer Handelskette plant eine Werbeaktion, bei der ein Kunde die Höhe des Rabatts bei seinem Einkauf durch zweimaliges Drehen an einem Glücksrad selbst bestimmen kann. Das Glücksrad hat zwei Sektoren, die mit den Zahlen 5 bzw. 2 beschriftet sind (vgl. Abbildung).

Kreis cKreis c: Kreis durch B mit Mittelpunkt AStrecke fStrecke f: Strecke A, BStrecke gStrecke g: Strecke A, CVektor uVektor u: Vektor(D, E)Vektor uVektor u: Vektor(D, E)2text1 = “2”5text2 = “5”

Der Rabatt in Prozent errechnet sich als Produkt der beiden Zahlen, die der Kunde bei zweimaligem Drehen am Glücksrad erzielt. Die Zufallsgröße X beschreibt die Höhe dieses Rabatts in Prozent, kann also die Werte 4, 10 oder 25 annehmen. Die Zahl 5 wird beim Drehen des Glücksrads mit der Wahrscheinlichkeit p erzielt. Vereinfachend soll davon ausgegangen werden, dass jeder Kunde genau einen Einkauf tätigt und auch tatsächlich am Glücksrad dreht.

1. Teilaufgabe a) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Ermitteln Sie mithilfe eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Kunde bei seinem Einkauf einen Rabatt von 10% erhält.

(Ergebnis: \(2 \cdot p - 2 \cdot {p^2}\) )

2. Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Zeigen Sie, dass für den Erwartungswert E(X) der Zufallsgröße X gilt:

\(E\left( X \right) = 9 \cdot {p^2} + 12 \cdot p + 4\)

Die Geschäftsführung will im Mittel für einen Einkauf einen Rabatt von 16% gewähren.

3. Teilaufgabe c.1) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Berechnen Sie für diese Vorgabe den Wert der Wahrscheinlichkeit p.

Berechnen Sie für diese Vorgabe den zugehörigen Mittelpunktswinkel des Sektors mit der Zahl 5.

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde bei seinem Einkauf den niedrigsten Rabatt erhält, beträgt 1/9. 

4. Teilaufgabe d) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20

Bestimmen Sie, wie viele Kunden mindestens an dem Glücksrad drehen müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 % mindestens einer der Kunden den niedrigsten Rabatt erhält.

Es drehen 180 Kunden am Glücksrad.

Teilaufgabe e) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit mindestens 10 und höchstens 25 dieser Kunden den niedrigsten Rabatt für ihren Einkauf erhalten.

kostenlose Vorbereitung Mathe Abitur Bayern - Teil B - Stochastik

Baumdiagramm

Erwartungswert Binomialverteilung

Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung

weniger höchstens mehr mindestens

Äquivalenzumformung mit Umkehrung des Ungleichheitszeichens

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Lösungsweg

Aufgabe 1874

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-1-Aufgaben - 21. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Zweistufiges Zufallsexperiment

Bei einem Zufallsexperiment tritt entweder „Erfolg“ mit der Wahrscheinlichkeit p oder „Misserfolg“ mit der Wahrscheinlichkeit 1 – p ein.

Dieses Zufallsexperiment wird 2-mal unabhängig voneinander durchgeführt. Die Wahrscheinlichkeit, dass dabei mindestens 1-mal „Erfolg“ eintritt, betragt 0,36.

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