Bei gleichem widerstand

Man benutzt die komplexe Darstellung, um über deren Realteil die zeitlichen Verläufe von u und i darzustellen. Da der Realteil eine Kosinusfunktion enthält, dreht man die gaußsche Ebene im Ursprung um 90°. Somit kann mit den rotierenden Zeigern in der üblichen Darstellung der Graph der Stromstärke oder Spannungskurve gezeichnet werden (Bild 9).
Weil Kosinus- und Sinusfunktion nur durch eine Verschiebung entlang der Abszissenachse zur Deckung gebracht werden können, erhält man bei geeigneter Größe des Nullphasenwinkels die Darstellung der Sinusfunktion.
Zur komplexen Darstellung einer sinusförmigen Wechselspannung nehmen wir an, dass der Pfeil zum Zeitpunkt t um den Winkel ω⋅t+φ u in der gaußschen Ebene gegen die reelle Achse gedreht sei. Dabei ist φ u die Anfangslage für t = 0 (Nullphasenwinkel). Hat die Wechselspannung die Amplitude U0, lautet die komplexe Darstellung: U0⋅ej(ω⋅t+φu)=U0⋅ejω⋅t⋅ejφu=U0⋅ejφu⋅ejωt=U¯ejωt,wobeiU¯ejωt=konstant die komplexe Amplitude ist.
Analog hierzu lässt sich die Stromstärke darstellen als: I0⋅ej(ωt+φi)=I0⋅ejφi⋅ejωt=I¯ejωt

Mit dieser Darstellung lässt sich zeigen, dass bei beliebiger Phasenlage von Stromstärke und Spannung gegeneinander der Quotient aus den Augenblickswerten eine Konstante, eben den Wechselstromwiderstand Z liefert.
U0⋅ej(ωt+φu)I0⋅ej(ωt+φi)=U¯⋅ejωtI⋅¯ejωt=U¯I¯=U0⋅ejφuI0⋅ejφi=U0I0⋅ej(φu−φi)=U0I0ejφ=Z¯=konstant
Der Betrag vonZ¯ergibt sich zu|Z¯|=U0I0mit dem Nullphasenwinkelφ=φu−φi.
Da bei einer derartigen Quotientenbildung stets der zeitabhängige Anteil ω⋅t herausfällt, kann man auch mit ruhenden Zeigern arbeiten.
Man gibt je nach Anwendungsfall dem Nullphasenwinkel des Stromes oder der Spannung den Wert null vor. Dann liegt bei φi=0 der Stromzeiger auf der reellen Achse, der Spannungszeiger ist um φ=φu−0=φu dagegen gedreht.
Addieren sich etwa zwei Spannungen U¯1undU¯1zu einer GesamtspannungU¯=U¯1+U¯2,
so werden die komplexen Zeiger geometrisch addiert.

Zwei Folgerungen aus der komplexen Darstellung seien noch hervorgehoben:
Für den Spannungsabfall über einer idealen Spule gilt u=Ldidt.
Ist der Strom ein sinusförmiger Wechselstrom, so gilt:
U⋅¯ejωt=Ld(I¯⋅ejωt)dt=jω⋅L⋅I⋅¯ejωtDaraus wirdZ¯=jω⋅L,alsoZ=U0I0=ω⋅L

Da wegen der Ableitung u und i um π2 phasenverschoben sind, gilt: φ=φu−φi=π2

An einem Kondensator gilt C=QU.
Wie bereits für die Berechnung der Ladung genutzt, ist Q=∫i dt. Setzt man hier wieder die komplexen Darstellungen ein, erhält man: U¯⋅ejωt=1C∫I¯⋅ejωtdt=1jω⋅CI⋅ ¯ejωt
Das liefert den komplexen Widerstand Z¯=1jω⋅C=−jω⋅C.
Dessen Betrag ist Z=1ω⋅C.
Da die Sinusfunktion des Stromes integriert wird, ist die Spannung dagegen um π2 phasenverschoben. Auch weist der Zeiger für den komplexen Widerstand auf der imaginären Achse nach unten: φ=φu−φi=−π2.

Ohne den Zusammenhang zwischen Widerstand, Strom und Spannung zu kennen, wird ein Elektroniker nicht zurechtkommen. Er sollte ein paar Formeln kennen und anwenden können. Ebenso wichtig ist, das er gefühlsmäßig beurteilen kann, wie diese drei Größen zusammenhängen. Diese intuitive Herangehensweise muss auf Erfahrungen beruhen. Dazu gehört die Anwendung der Formeln.

Das Schaltbild

Wir haben einen Widerstand R, an dem eine Spannung U abfällt und durch den ein Strom I fließt.

Regeln

• Wenn der Widerstand höher wird, wird bei gleicher Spannung der Strom geringer.

• Umgekehrt, wird der Strom größer, wenn der Widerstand kleiner wird.

• Wenn der Widerstand höher wird, wird bei gleichem Strom die Spannung am Widerstand höher.

• Umgekehrt, wird die Spannung geringer, wenn der Widerstand kleiner wird.

• Wird der Strom durch den Widerstand erhöht, steigt die Spannung am Widerstand.

• Umgekehrt, fällt die Spannung, wenn der Strom kleiner wird.

• Wird die Spannung am Widerstand erhöht, steigt auch der Strom durch den Widerstand.

• Umgekehrt, fällt der Strom, wenn die Spannung kleiner wird.

• Soll bei einer Spannung ein größerer Strom fließen, wird ein kleinerer Widerstand benötigt.

• Umgekehrt, soll kleinerer Strom fließen, wird ein größerer Widerstand benötigt.

Faustregel

Ursache

Wirkung

Spannung steigt

Strom steigt

Widerstand steigt

Strom fällt

Widerstand steigt

Spannung steigt

Wir können Ursache und Wirkung umkehren. Wir können auch steigt und fällt tauschen.

Diese Vertauschungsregeln gelten nur bei wenigen Sachverhalten.

Formeln

Ohmsches Gesetz

Die obigen Regeln geben nur einen qualitativen (größer, kleiner usw.) Zusammenhang wieder. Wir können darüber hinaus Widerstand, Strom und Spannung berechnen. Wenn zwei der drei Größen haben, können wir die dritte berechnen.

Strom berechnen

I = U / R

Spannung berechnen

U = R * I

Widerstand berechnen

R = U / I

Diesen Zusammenhang hat Georg Simon Ohm vor knapp zweihundert Jahren entdeckt. Ihm zu Ehren nennen wir es Ohmsches Gesetz.

Leistung am Widerstand

Die Leistung P am Widerstand ist

Leistung berechnen

   P = U * I
   P = U * U / R
   P = I * I * R

Maßeinheiten

Die obigen Formeln gelten für

Wir kennen auch Abkürzungen für die Einheiten:

Widerstand

1kΩ =    1000Ω
1MΩ = 1000000Ω = 1000kΩ

Spannung

1kV = 1000V
1mV = 0,001V
1V  = 1000mV

Strom

1kA  = 1000A
1mA  = 0,001A    = 1000µA
1µA  = 0,000001A = 0,001mA
1A   = 1000mA    = 1000000µA

Leistung

1kW  = 1000W
1mW  = 0,001W    = 1000µW
1µW  = 0,000001W = 0,001mW
1W   = 1000mW    = 1000000µW

Die Formeln sind einfach, wenn jeweils folgende vier Maßeinheiten zusammen eingesetzt werden.

Beispiele

• Berechnung des Messwiderstands für eine elektronische Sicherung

Gültigkeit der Formeln

Der alte Ohm hat bereits darauf hingewiesen, dass seine Formeln nicht für alle Widerstände gelten.

Wir machen es umgekehrt und nennen Widerstände, die den obigen Formeln genügen, ohmsche Widerstände.

Es gibt Widerstände, die den Ohmschen Formeln in keiner Weise entsprechen, spannungsabhängige Widerstände, VDR, oder Varistoren genannt. Die Formeln gelten für Varistoren nicht, jedoch die Regeln.

Andere Widerstände sind von anderen Größen abhängig, z.B. Licht und Temperatur. Temperatur, jeder Widerstand ist in meistens geringem Maße von der Temperatur abhängig.

Was passiert wenn bei gleichem Widerstand die Spannung größer wird?

Was passiert wenn man zwei Widerstände in einem Stromkreis hat?

Was passiert wenn man den Widerstand verdoppelt?

Wann bleibt der Widerstand gleich?