Addieren und subtrahieren von bruchtermen mit gleichem nenner

Begriffserkl�rung

Was ist ein Bruch?

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Wie subtrahiert man Brüche mit gleichem Nenner?
Wie kann man gleichnamige Brüche Addieren und subtrahieren?
Wie rechnet man den gleichen Nenner aus?
Wie addiere ich Bruchterme?

Ein Bruch wird aus zwei ganzen Zahlen (...3, 2, 1, 0, -1, -2, -3,...), die �bereinandergestellt sind, gebildet. Diese sind durch einen waagerechten Strich getrennt. Die obenstehende Zahl nennt man Z�hler, die untenstehende Nenner.

Bruch: z. B.

Was ist ein Term?

Unter einem Term versteht man Zahlzeichen, Variablen sowie alle sinnvollen Verbindungen von Zahlenzeichen und Variablen mit Verkn�pfungszeichen.

Term: z. B. x+3

Was ist ein Bruchterm?
Der aus den zwei Termen erstellte Bruch

hei�t Bruchterm.

Bruchterm: z. B.

Erweitern von Bruchtermen

Ein Bruchterm wird erweitert, indem man seinen Z�hler und Nenner mit demselben Term multipliziert.

Beim Erweitern bleibt der Wert des Bruches erhalten!

Beispiel:

mit 3x erweitern

K�rzen von Bruchtermen

Ein Bruch wird gek�rzt, indem man seinen Z�hler und Nenner mit demselben Term dividiert.

Auch beim K�rzen bleibt der Wert des Bruches erhalten!

Beispiel:

mit 4x k�rzen

Gleichnamigmachen von Bruchtermen

Gleichnamig bedeutet, dass die jeweiligen Bruchterme den gleichen Nenner haben. Um allerdings zu diesem Ergebnis zu gelangen, muss der kleinste gemeinsame Vielfache aus den gegebenen Nennern ermittelt werden.

Beispiel:

und

haben als kleinstes gemeinsames Vielfaches den Hauptnenner 2x�- 18.
Das ergibt sich aus der Faktorzerlegung der einzelnen Nenner 2(x-3) und (3-x)(3+x).

Nun muss

mit (x+3) und

mit (-2) erweitert werden.

und

Als Alternativl�sung bietet sich aber auch das Multiplizieren mit dem jeweils anderen Nenner an.
Da ist man immer auf dem richtigen Weg!

(Es kann aber zu ziemlich großen Termen führen.)

Beispiel:

a. Addition von gleichnamigen Bruchtermen

Gleichnamige Bruchterme werden addiert, indem man die Terme im Z�hler addiert und den Term im Nenner beibeh�lt.

Beispiel:

b. Subtraktion von gleichnamigen Bruchtermen

Gleichnamige Bruchterme werden subtrahiert, indem man die Terme im Z�hler subtrahiert und den Term im Nenner beibeh�lt.

Beispiel:

Addition und Subtraktion von ungleichnamigen Bruchtermen

Ungleichnamige Bruchterme m�ssen zuerst gleichnamig gemacht werden (siehe Punkt 4). Dann wird wie unter Punkt 5 weiterverfahren.

Beispiel Addition:

Beispiel Subtraktion:

a. Multiplikation von Bruchtermen

Vor dem Ausmultiplizieren ist es zu empfehlen, dass Z�hler und Nenner m�glichst vollst�ndig gek�rzt werden.

Zwei Bruchterme werden multipliziert, indem man Z�hler mit Z�hler und Nenner mit Nenner multipliziert.

Beispiel:

Kleiner Tip: Es kann ausgeklammert und gekürzt werden.

b. Division von Bruchtermen Man dividiert durch einen Bruchterm, indem man den Dividenden (= erster Bruch) mit dem Kehrbruch des Divisors (= zweiter Bruch) multipliziert.

Beispiel:

Bruchgleichungen Bei Bruchtermen können im Zähler UND im Nenner Variablen vorkommen. Da die Division durch die Zahl Null leider keinen Sinn ergibt, ist es besonders wichtig, die Definitionsmenge bei Bruchgleichungen zu bestimmen, die Werte, die beim Einsetzen in die Variablen dem Nenner den Wert Null geben!
Daran denken: Bei der Bestimmung der Definitionsmenge nur den Nenner anschauen!

Beispiel:

Hier darf man für x alle Reellen Zahlen außer 0 einsetzen.
In der Mathematik schreibt man D=R \ {0}

Übersetzt heißt das:
Die Definitionsmenge D sind alle Reellen Zahlen R außer der Menge mit der Zahl 0!

Beispiel:

Hier darf man für x alle Reellen Zahlen außer -3 einsetzen, denn -3+3=0
D=R \ {-3}

Strategie bei der Lösung von Bruchgleichungen:
1.) Defintionsmenge festlegen
2.) Hauptnenner bestimmen
3.) Beide Seiten mit dem Hauptnenner multiplizieren
4.) Durch Kürzen eine lineare (oder quadratische) Gleichung erzeugen
5.) Gleichung durch eine Äquivalenzumformung lösen
6.) Bei der Bestimmung der Lösungsmenge die Definitionsmenge beachten

Beispiel:

D=R \ {0} ; Hauptnenner: x

Wie subtrahiert man Brüche mit gleichem Nenner?

Die Subtraktion der Brüche geht genauso wie die Addition. Wenn die Nenner gleich sind, musst du die Zähler von einander abziehen und den Nenner beibehalten. Sind die Nenner verschieden musst du den Hauptnenner suchen, die Brüche erweitern und dann die Zähler von einander abziehen und den Hauptnenner beibehalten.

Wie kann man gleichnamige Brüche Addieren und subtrahieren?

Gleichnamige Brüche addierst du, indem du den Nenner (= gemeinsamer Name der Brüche) beibehältst und die Zähler (= Anzahl aller Teile) addierst. Gleichnamige Brüche subtrahierst du, indem du den Nenner (= gemeinsamer Name der Brüche) beibehältst und die Zähler (= Anzahl aller Teile) subtrahierst.

Wie rechnet man den gleichen Nenner aus?

Rechnerisches Vorgehen. Zuerst soll das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Nenner bestimmmt werden. Dafür wendet man die Primfaktorzerlegung an. Um den Hauptnenner zu errechnen, werden dafür alle Primfaktoren der beiden Nenner so oft, wie sie bei den Zerlegungen am häufigsten vorkommen, multipliziert.

Wie addiere ich Bruchterme?

Gleichnamige Bruchterme addieren In Worten: Zwei Bruchterme mit gleichem Nenner werden addiert, indem man ihre Zähler addiert. Der Nenner verändert sich bei der Addition nicht. Er wird einfach beibehalten. Nach dem Addieren lässt sich der Bruchterm oft noch vereinfachen (siehe Bruchterme kürzen).