2 mal die gleiche menge

Der Vollständigkeit halber wollen wir nun eine Menge einführen, die kein einziges Element enthält, die leere Menge. Sie wird als

Sie tritt auf, wenn der Durchschnitt zweier Mengen, die kein gemeinsames Element haben, gebildet wird. So enthält etwa die Menge B (siehe oben) nur gerade Zahlen, die Menge U (siehe oben) nur ungerade Zahlen. Keine Zahl kann Element beider Mengen sein (da keine Zahl gleichzeitig gerade und ungerade ist). Daher ist

Zwei Mengen, die kein gemeinsames Element besitzen (d.h. deren Durchschnitt die leere Menge ist) heißen zueinander disjunkt.

Achtung - nicht verwechseln: Die leere Menge { } enthält kein Element (also ''nichts''). Sie ist von der Zahl 0, und auch von der Menge, die die Zahl Null enthält (also {0}) zu unterscheiden. (Die Menge {0} enthält ja ein Element, die leere Menge { } enthält gar keines).

Folgende Bemerkung kann von ''EinsteigerInnen'' ausgelassen werden.

Mit Hilfe des nebenstehenden Buttons können Sie die formalen ''Rechenregeln'' für den Umgang mit der leeren Menge aufrufen.

Wir wollen hier kurz zwei Symbole besprechen, die oft im Zusammenhang mit Mengen auftreten.

Manchmal soll von einer Menge gesagt werden, daß sie (zumindest) ein Element mit einer gewissen Eigenschaft enthält. So enthält z.B. die oben definierte Menge A (zumindest) eine gerade Zahl. Formal kann das so ausgedrückt werden:

Manchmal soll von einer Menge gesagt werden, daß alle ihre Elemente eine gewisse Eigenschaft erfüllen. So enthält z.B. die oben definierte Menge B nur gerade Zahlen. Formal kann das so ausgedrückt werden:

Für die Phrase ''für alle'' ist das Symbol " gebräuchlich. Somit läßt sich also auch schreiben:

Manchmal ist es klarer, " als ''für jedes'' zu lesen.

Der Rest dieses Abschnitts kann von ''EinsteigerInnen'' ausgelassen werden.

Diese beiden Symbole finden vielfältige Anwendung. So gilt z.B. für die oben definierte Menge B (zur Erinnerung: B = {2,4,6}):

Mit Hilfe des nebenstehenden Buttons können Sie eine Besprechung dieser Aussage aufrufen.

Ein anderes Beispiel für die Verwendung des Symbols $ stellt die Definition der Menge

dar (C wie oben und N wie oben). Mit Hilfe des nebenstehenden Buttons können Sie eine Besprechung dieser Definition und die Berechnung der Menge D aufrufen.

Diese Art von Symbolik mag anhand der hier behandelten Beispiele übertrieben erscheinen. Im ''Ernstfall'' ist sie jedoch eine große Hilfe, komplexe Sachverhalte korrekt zu behandeln und tieferliegende Strukturen aufzudecken. Ohne sie wäre die moderne Mathematik undenkbar.

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Falls eine Menge endlich ist, d.h. nur endlich viele Elemente enthält, wird unter ihrer Mächtigkeit (oder Ordnung) die Anzahl ihrer Elemente verstanden. So hat z.B. die oben definierte Menge B die Ordnung 3. Zwei endliche Mengen, die gleichviele Elemente besitzen, heißen gleichmächtig. Man kann sie in gewisser Weise miteinander ''identifizieren'', indem man jedes Element der einen Menge zu einem ''Partner'' oder ''Stellvertreter'' genau eines Elements der anderen Menge erklärt. Einfach ausgedrückt, kann man dann von Standpunkt der Mengenlehre aus (d.h. mit Hilfe der Symbole � , �, �, � , � und \ ) mit der einen Menge genau dieselben Dinge machen wie mit der anderen. Jeweils ein Element der einen Menge ''steht für'' ein Element der anderen Menge, und umgekehrt. (Man kann das auch so sagen: Für jemanden, der nur den Begriff der Menge und die Symbole � , �, �, � , � und \  kennt und alles andere ignoriert, sind die beiden Mengen nicht unterscheidbar).

Dieser Begriff kann für unendliche Mengen, d.h. für Mengen, die unendlich viele Elemente enthalten, verallgemeinert werden. Zwei beliebige Mengen heißen gleichmächtig, wenn jedes Element der einen Menge zu einem ''Partner'' oder ''Stellvertreter'' genau eines Elements der anderen Menge erklärt werden kann, so daß kein Element der zweiten Menge ''übrigbleibt''.

Es gibt unendliche Mengen, die nicht gleichmächtig sind. In diesem Sinn können also auch unendliche Mengen ''verschieden viele Elemente'' enthalten, also ''verschieden groß'' sein. Das wichtigste Beispiel hierfür bilden die Mengen der natürlichen und der reellen Zahlen: Sie besitzen beide unendlich viele Elemente, sind aber nicht gleichmächtig. Dies wird in einem späteren Kapitel besprochen.

Das mathematische Symbol für Gleichmächtigkeit ist @ (obwohl es daneben noch mehrere andere Bedeutungen hat). So gilt etwa - um ein Beispiel zu nennen - für die Mengen N (siehe oben) und U (siehe oben), daß sie gleichmächtig sind: N @ U. Die Identifizierung kann so gewählt werden:

Wie im vorigen Abschnitt erwähnt, können unendliche Mengen ''verschieden groß'' sein (nämlich, wenn sie nicht gleichmächtig sind). Nun kann man zeigen, daß eine Menge und ihre Potenzmenge nie gleichmächtig sind. (Für einen Beweis siehe den nebenstehenden Button. Was ''gleichmächtig'' bedeutet, wurde oben gesagt). Der Begriff der Potenzmenge erlaubt es daher, immer ''größer'' werdende Stufen von ''Unendlichkeiten'' anzugeben: Man betrachte zunächst die Menge N der natürlichen Zahlen, dann deren Potenzmenge (die ebenfalls unendlich viele Elemente enthält, aber ''noch größer'' als N ist - sie ist überabzählbar), dann die Potenzmenge der Potenzmenge von N usw. Jede dieser Mengen ist nicht gleichmächtig zur vorigen.

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Außer � und � gibt es noch weitere Möglichkeiten, aus zwei beliebigen Mengen eine dritte zu konstruieren. Eine solche wollen wir hier kurz besprechen. Betrachten wir die Mengen A (siehe oben) und B (siehe oben). Ein geordnetes Paar von Elementen dieser beiden Mengen besteht in der Angabe eines Elements a � A und eines Elements b � B. Dies wird als

Diese Konstruktion ist wichtig, um geometrische Sachverhalte zu beschreiben: Die Ebene kann als das kartesische Produkt zweier Geraden (''Zahlengeraden'') aufgefaßt werden.

In analoger Weise wird die Menge aller Tripel (a, b, c) von Elementen a � A, b � B und c � C als A × B × C bezeichnet. Höhere Verallgemeinerungen wie A × B × C × N × X sind ebenfalls möglich.

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Der Begriff der Menge als ''Zusammenfassung wohldefinierter Objekte'' ist einleuchtend und scheint zunächst eine ganz unproblematische Sache zu sein. Es mag daher überraschend sein, daß hier fundamentale Probleme auftreten, wenn die Möglichkeiten des Mengenbegriffs ausgelotet werden.

Wenn eine Menge eine ''Zusammenfassung wohldefinierter Objekte'' ist, so ist sie selbst ein wohldefiniertes Objekt. Können wir also all diese Objekte zusammenfassen und die Menge aller Mengen bilden? Die Antwort lautet verblüffenderweise nein! Die Menge aller Mengen ist ein in sich widersprüchliches und daher sinnloses Konzept. Mit Hilfe des nebenstehenden Buttons können Sie eine Begründung, warum das so ist, und eine bekanntes Paradoxon über einen Dorfbarbier aufrufen.

Wie wir gerade gesehen haben, führt die uneingeschränkte Erzeugung von Mengen nach diesem Standpunkt auf Widersprüche (sogenannte Antinomien). Entdeckungen dieser Art haben seit dem Beginn des 20. Jahrhunderts (beginnend mit Ernst Zermelo) zu einem Überdenken der Grundlagen der Mathematik geführt. In der ''axiomatischen Mengenlehre'' wird versucht, Regeln für den Umgang mit Mengen auf formale Weise aus möglichst wenigen Grundannahmen (Axiomen) herzuleiten, sodaß Objekte wie die ''Menge aller Mengen'' gar nicht erst auftreten. Das zugrundegelegte System von Axiomen ist allerdings nicht eindeutig, sodaß man eigentlich von vielen möglichen ''Mathematiken'' sprechen müßte. Die weiteren Konsequenzen dieser Situation (vor allem die Entdeckung Kurt Gödels, daß jede dieser ''Mathematiken'' in einem fundamentalen Sinn unvollständig ist) haben die alte Vorstellung von der Universalität der Mathematik nachhaltig verunsichert.