Ein fairer Würfel wird dreimal geworfen.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass
mindestens eine Sechs gewürfelt wird,
Gegenwahrscheinlichkeit für keine Sechs gewürfelt
5/6 * 5/6 * 5/6 = 125 / 216 = 0.5787
1, 2 oder 3 Sechsen
0.4213 = 42.13 %
gegeben mindestens einer der Würfe ist eine Eins?
Verstehe ich nicht.
C) zwei dieses Mädchen heißen Kathi und Franziska. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese nebeneinander sitzen
D) wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Kathi und Franziska nicht nebeneinander sitzen?
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RastaKopf
20.02.2021, 08:57
Mindestens: Es dürfen auch mehr sein. Mindestens 10 bedeutet 10 oder mehr. Höchstens: es dürfen nur weniger sein. Höchstens 30 bedeutet es darf alles sein was 30 oder weniger ist. Die Binomialverteilung ist eine diskrete Verteilung, deren Zufallsvariable X nur zwei Werte annimmt: 0 = Misserfolg / Niete bzw. 1 = Erfolg / Treffer. Sie entsteht, wenn man ein Bernoulli Experiment (welches nur 2 mögliche Ausgänge hat) n Mal gleich und unverändert wiederholt. Die Grundgesamtheit ändert sich also im Laufe der Wiederholungen nicht, d.h. es handelt sich um ein „Ziehen mit Zurücklegen“. X heißt binomialverteilt mit den 2 Parametern n und p: Die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass es genau k Treffer gibt: \(f\left( k \right) = P\left( {X = k} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{array}} \right) \cdot {p^k} \cdot {\left( {1 - p} \right)^{n - k}}\) für k=0, 1, ..,n Zur Erinnerung: Der Binomialkoeffizient errechnet sich zu: \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{array}} \right) = \dfrac{{n!}}{{k! \cdot \left( {n - k} \right)!}}\)Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung
Bestimmung der Wahrscheinlichkeit einer Binomialverteilung bei unterschiedlichen Grenzen
Ungleichungen im Sprachgebrauch:
- Weniger entspricht <
- Höchstens entspricht \( \le \)
- Mehr entspricht >
- Mindestens entspricht \( \ge \)
genau k Treffer\(P(X = k) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{array}} \right) \cdot {p^k} \cdot {\left( {1 - p} \right)^{\left( {n - k} \right)}}\)höchstens k Treffer\(P\left( {X \le k} \right) = \sum\limits_{i = 0}^k {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ i \end{array}} \right) \cdot {p^i} \cdot {{\left( {1 - p} \right)}^{n - i}}} \)weniger als k Treffer\(P\left( {X < k} \right) = \sum\limits_{i = 0}^{k - 1} {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ i \end{array}} \right) \cdot {p^i} \cdot {{\left( {1 - p} \right)}^{n - i}}} \)mindestens k Treffer\(P\left( {X \ge k} \right) = 1 - P\left( {X \le k - 1} \right) = 1 - \sum\limits_{i = 0}^{k - 1} {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ i \end{array}} \right) \cdot {p^i} \cdot {{\left( {1 - p} \right)}^{n - i}}} \)mehr als k Treffer\(P\left( {X > k} \right) = 1 - P\left( {X \le k} \right) = 1 - \sum\limits_{i = 0}^k {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ i \end{array}} \right) \cdot {p^i} \cdot {{\left( {1 - p} \right)}^{n - i}}} \)mindestens k aber höchstens m Treffer\(\begin{array}{l} P\left( {k \le X \ge m} \right) = P\left( {X \le m} \right) - P\left( {X \le k - 1} \right) = \\ = \sum\limits_{i = 0}^m {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ i \end{array}} \right) \cdot {p^i} \cdot {{\left( {1 - p} \right)}^{n - i}}} - \sum\limits_{i = 0}^{k - 1} {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ i \end{array}} \right) \cdot {p^i} \cdot {{\left( {1 - p} \right)}^{n - i}}} \end{array}\)
Illustration zur VeranschaulichungWahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung mit den Parametern n=10 Wiederholungen und einer Erfolgswahrscheinlichkeit von p=0,3
Zahl aZahl a: Binomial(10, 0.3)Zahl aZahl a: Binomial(10, 0.3)Zahl aZahl a: Binomial(10, 0.3)Zahl aZahl a: Binomial(10, 0.3)Zahl aZahl a: Binomial(10, 0.3)Zahl aZahl a: Binomial(10, 0.3)Zahl aZahl a: Binomial(10, 0.3)Zahl aZahl a: Binomial(10, 0.3)Zahl aZahl a: Binomial(10, 0.3)Zahl aZahl a: Binomial(10, 0.3)Zahl aZahl a: Binomial(10, 0.3)Zahl aZahl a: Binomial(10, 0.3)Zahl aZahl a: Binomial(10, 0.3)Zahl aZahl a: Binomial(10, 0.3)Zahl aZahl a: Binomial(10, 0.3)Zahl aZahl a: Binomial(10, 0.3)Zahl aZahl a: Binomial(10, 0.3)Zahl aZahl a: Binomial(10, 0.3)Zahl aZahl a: Binomial(10, 0.3)Zahl aZahl a: Binomial(10, 0.3)Zahl aZahl a: Binomial(10, 0.3)Zahl aZahl a: Binomial(10, 0.3)Zahl aZahl a: Binomial(10, 0.3)
Laplace Bedingung
Wenn die Laplace Bedingung \(\sigma = \sqrt {n \cdot p \cdot \left( {1 - p} \right)} > 3\) erfüllt ist, kann man die Binomialverteilung durch die Normalverteilung annähern.
Sigma-Umgebungen
Der Erwartungswert ist der Wert mit der größten Wahrscheinlichkeit. Links und rechts vom Erwartungswert gruppieren sich die restlichen binomialverteilten Wahrscheinlichkeiten. Wenn die Streuung groß genug ist, kann man die Binomialverteilung durch die Normalverteilung annähern. Um zu prüfen ob diese Näherung zulässig ist, verwendet man die Laplace Bedingung.
Radius der Sigma Umgebung (also Vielfachen der Standardabweichung):
\(\begin{array}{l} 1\sigma \buildrel \wedge \over = P\left( {\mu - \sigma \le X \le \mu + \sigma } \right) \approx 68\% \\ 2\sigma \buildrel \wedge \over = P\left( {\mu - 2\sigma \le X \le \mu + 2\sigma } \right) \approx 95,5\% \\ 3\sigma \buildrel \wedge \over = P\left( {\mu - 3\sigma \le X \le \mu + 3\sigma } \right) \approx 99,7\% \end{array}\)
Verteilungsfunktion der Binomialverteilung
Verteilungsfunktion der Binomialverteilung gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass es höchstens k Treffer gibt:
\(F\left( k \right) = P\left( {0 \le X \le k} \right) = \sum\limits_{i = 0}^k {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ i \end{array}} \right)} \cdot {p^i} \cdot {\left( {1 - p} \right)^{n - i}}\)
Erwartungswert der Binomialverteilung
\(E\left( X \right) = \mu = n \cdot p\)
Erwartungswert der Binomialverteilung,
wenn die einzelnen Werte der Zufallsvariablen X=xi mit unterschiedlicher Wahrscheinlichkeit vorkommen.
Der Erwartungswert entspricht der Summe der Werte der Zufallsvariablen X=xi multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von xi also P(X=xi).
\(E(X) = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i} \cdot P\left( {X = {x_i}} \right)} = \mu \)
Varianz der Binomialverteilung
\({\sigma ^2} = Var\left( X \right) = n \cdot p \cdot \left( {1 - p} \right)\)
Standardabweichung der Binomialverteilung
\(\sigma = \sqrt {Var(X)} = \sqrt {n \cdot p \cdot \left( {1 - p} \right)} \)
Binomialverteilung → Normalverteilung
Die Binomialverteilung kann bei großen Stichproben, also bei relativ hohem n, durch die Normalverteilung ersetzt werden. Wobei dann für die Normalverteilung - so wie bei der Binomialverteilung - wie folgt gilt:
- Erwartungswert bei großem n: \(E\left( x \right) = \mu = n \cdot p\)
- Standardabweichung bei großem n: \(\sigma = \sqrt {Var(x)} = \sqrt {n \cdot p \cdot \left( {1 - p} \right)} \)
Hat eine Zufallsvariable X eine Normalverteilung mit beliebigen μ und σ, so kann man die Werte der Normalverteilung mit \(z = \dfrac{{X - \mu }}{\sigma }\) in eine Standardnormalverteilung umrechnen.
Das zugehörige \(\Phi \left( {{z}} \right)\) entnimmt man anschließend der entsprechenden Tabelle für die Standardnormalverteilung.
Bei 2 zum Erwartungswert symmetrisch liegenden Wahrscheinlichkeiten kann man den Umstand, dass \(\left| {{z_{oG}}} \right| = \left| {{z_{uG}}} \right|\) ausnützen und aus speziellen Tabellen für die Standardnormalverteilung direkt den Wert für das Intervall D ablesen.
Binomialverteilung
Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung
Verteilungsfunktion der Binomialverteilung
Erwartungswert Binomialverteilung
Varianz der Binomialverteilung
Diskrete Verteilung
Standardabweichung der Binomialverteilung
Laplace Bedingung
Ungleichungen im Sprachgebrauch
weniger höchstens mehr mindestens
Sigma Umgebung bei Binomialverteilungen
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Lösungsweg
Aufgabe 6024
Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Der Marketingchef einer Handelskette plant eine Werbeaktion, bei der ein Kunde die Höhe des Rabatts bei seinem Einkauf durch zweimaliges Drehen an einem Glücksrad selbst bestimmen kann. Das Glücksrad hat zwei Sektoren, die mit den Zahlen 5 bzw. 2 beschriftet sind (vgl. Abbildung).
Kreis cKreis c: Kreis durch B mit Mittelpunkt AStrecke fStrecke f: Strecke A, BStrecke gStrecke g: Strecke A, CVektor uVektor u: Vektor(D, E)Vektor uVektor u: Vektor(D, E)2text1 = “2”5text2 = “5”
Der Rabatt in Prozent errechnet sich als Produkt der beiden Zahlen, die der Kunde bei zweimaligem Drehen am Glücksrad erzielt. Die Zufallsgröße X beschreibt die Höhe dieses Rabatts in Prozent, kann also die Werte 4, 10 oder 25 annehmen. Die Zahl 5 wird beim Drehen des Glücksrads mit der Wahrscheinlichkeit p erzielt. Vereinfachend soll davon ausgegangen werden, dass jeder Kunde genau einen Einkauf tätigt und auch tatsächlich am Glücksrad dreht.
1. Teilaufgabe a) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Ermitteln Sie mithilfe eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Kunde bei seinem Einkauf einen Rabatt von 10% erhält.
(Ergebnis: \(2 \cdot p - 2 \cdot {p^2}\) )
2. Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Zeigen Sie, dass für den Erwartungswert E(X) der Zufallsgröße X gilt:
\(E\left( X \right) = 9 \cdot {p^2} + 12 \cdot p + 4\)
Die Geschäftsführung will im Mittel für einen Einkauf einen Rabatt von 16% gewähren.
3. Teilaufgabe c.1) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Berechnen Sie für diese Vorgabe den Wert der Wahrscheinlichkeit p.
Berechnen Sie für diese Vorgabe den zugehörigen Mittelpunktswinkel des Sektors mit der Zahl 5.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde bei seinem Einkauf den niedrigsten Rabatt erhält, beträgt 1/9.
4. Teilaufgabe d) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Bestimmen Sie, wie viele Kunden mindestens an dem Glücksrad drehen müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 % mindestens einer der Kunden den niedrigsten Rabatt erhält.
Es drehen 180 Kunden am Glücksrad.
Teilaufgabe e) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit mindestens 10 und höchstens 25 dieser Kunden den niedrigsten Rabatt für ihren Einkauf erhalten.
kostenlose Vorbereitung Mathe Abitur Bayern - Teil B - Stochastik
Baumdiagramm
Erwartungswert Binomialverteilung
Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung
weniger höchstens mehr mindestens
Äquivalenzumformung mit Umkehrung des Ungleichheitszeichens
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Lösungsweg
Aufgabe 1874
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-1-Aufgaben - 21. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Zweistufiges Zufallsexperiment
Bei einem Zufallsexperiment tritt entweder „Erfolg“ mit der Wahrscheinlichkeit p oder „Misserfolg“ mit der Wahrscheinlichkeit 1 – p ein.
Dieses Zufallsexperiment wird 2-mal unabhängig voneinander durchgeführt. Die Wahrscheinlichkeit, dass dabei mindestens 1-mal „Erfolg“ eintritt, betragt 0,36.