Wie hoch ist die Erdkrümmung auf 100 km?

Bretagne-Tipp

mittendrin im Bretagne-Urlaub

Was gibt's noch?

• Der westlichste Punkt der Bretagne
• Der Horizont des Meeres
• Die Bretagne verschiebt den Tag

grau: Erde

h: Augenhöhe des Betrachters

x: Entfernung des Horizonts

r: Erdradius (6371 km)

Herleitung der Formel

Die Blicklinie x des Betrachters ist eine Linie, die den gezeichneten Kreis (am Horizont der Erde) berührt und dort senkrecht zum Erdradius steht. Das gezeichnete Dreieck ist also ein rechtwinkliges Dreieck, für welches der Satz des Pythagoras a² + b² = c² gilt. Auf die in der Skizze sichtbare Situation übertragen gilt:

x² + r² = (r + h)²

So kann man bereits x ausrechnen, wenn man (r + h)² - r² berechnet und daraus die Wurzel zieht. Man kann die Gleichung aber auch noch vereinfachen, vielleicht, um am Strand die Meereshorizont-Entfernung im Kopf zu berechnen. Dazu wird die binomische Formel (a + b)² = a² + 2ab + b² angewendet:

x² + r² = r² + 2rh + h²

Das r² tritt auf beiden Seiten auf und kann abgezogen werden:

x² = 2rh + h²

Da es mir nicht wichtig ist, die Entfernung zum Horizont auf den Meter genau zu kennen, lasse ich das h² auf der rechten Seite weg. Ich benutze also eine "Näherungsformel" (Hinweis). Es gibt sowieso "Ungenauigkeiten": Schließlich werden die Lichtstrahlen als absolut geradlinig angenommen und die Erde als exakte Kugel. Beispielsweise ist der verwendete Wert des Erdradius ein "mittlerer Erdradius" und nicht einmal auf den Kilometer genau. Und wer möchte, kann natürlich auch ohne Näherung rechnen.

x² = 2rh

Gesucht ist also die Strecke x, die mit sich selbst multipliziert den Wert 2rh ergibt. Dies ist die "Wurzel" aus 2rh:

Berechnung

Beispiel: Beim Aufenthalt am Strand ist h ungefähr 2 m = 0,002 km, also 2rh = 2 x 6371 x 0,002 = 25,484. Die gesuchte Zahl x ist die Zahl, die mit sich selbst multipliziert 25,484 ergibt, man erhält x = 5,048...., also ungefähr 5 km (5 x 5 = 25). Weitere Werte, auf 100 m genau gerundet (Augenhöhe → Entfernung des Horizonts):

2 m → 5,0 km, 10 m → 11,3 km, 20 m → 16,0 km, 30 m → 19,6 km, 50 m → 25,2 km, 70 m → 29,9 km

Hinweis

Dass die Näherungsformel den verwendeten Zahlenwert nicht sehr verfälscht, wenn man nicht zu hoch über den Meeresspiegel hinauskommt (wenn also die Augenhöhe h viel kleiner als der Erdradius r ist), zeigt eine Beispielrechnung: Wenn man für die Blickhöhe h = 70 m = 0,07 km (immerhin stehen wir dann schon auf einer Klippe des Cap Fréhel an der Nordküste der Bretagne) die Entfernung zum Horizont berechnet, so erhält man auf den Zentimeter genau gerundet x = 29,86536 km in der Näherung und x = 29,86545 km mit der genauen Formel. Die Näherungsformel liefert also einen 9 cm zu niedrigen Wert - bei fast 30 km Entfernung eine nicht gerade schwerwiegende Abweichung.

Horizont hängt vom Blickpunkt des Betrachters ab

Da gibt es keine echte Obergrenze. Der Horizont ist umso weiter weg, je höher der Blickpunkt des Betrachters ist. Die Erdoberfläche ist ja gekrümmt, und wenn wir uns vorstellen, dass ein Betrachter einen Turm oder eine große Leiter hinaufsteigt, dann kann er mit jedem Schritt ein bisschen weiter gucken. Man kann sich das auch klarmachen, wenn man einen großen Kreisbogen auf ein Blatt Papier malt und sich vorstellt, dass dieser Kreisbogen die Erdoberfläche darstellt. Dann zeichnet man senkrecht zum Kreisbogen einen kurzen Strich – das ist der Betrachter. Vom oberen Ende des Strichs zeichnet man dann eine Linie, die den Kreisbogen gerade berührt. Die Berührungsstelle wäre dann der Horizont. Und dann ist klar: Je länger der Strich ist, desto länger wird auch diese Verbindungslinie zum Kreisbogen.

Satz des Pythagoras hilft

Auf dem Papier sind die Größenverhältnisse natürlich nicht realistisch. Aber wenn man sich das aufmalt, wird deutlich: Wenn man die Augenhöhe des Betrachters kennt – und natürlich den Radius der Erde mit ungefähr 6.000 km – dann lässt sich die Entfernung zum Horizont letztlich mit dem Satz des Pythagoras berechnen. Und um nur mal eine Vorstellung zu geben:

Für einen Menschen direkt am Strand mit Augenhöhe 1,80 m ist der Horizont knapp 5 Kilometer entfernt. Steht dieser Mensch auf einer 20 Meter hohen Klippe, kann er schon 17 Kilometer weit blicken. Auf einem 100 Meter hohen Turm wäre der Horizont 36 Kilometer entfernt. Von einem Flugzeug, das in 10 Kilometern Höhe in einem wolkenlosen Himmel fliegt, ist der Horizont 360 Kilometer entfernt. Und da gibt es im Grunde nach oben keine Grenzen.

Aber die Erde ist ja nicht unendlich groß?

Nein, aber ein Betrachter kann natürlich beliebig weit von der Erde entfernt sein und entsprechend weit wäre dann auch der Horizont entfernt. Deshalb wird diese Rechnerei auch irgendwann sinnlos. Man könnte jetzt zum Beispiel ausrechnen: Wie weit ist der Horizont für einen Betrachter vom Mond entfernt? Der sieht ja auch einen Horizont – das ist dann der Rand der sichtbaren Erde. Und dann ist logischerweise dieser Horizont auch ungefähr so weit weg wie der Mond – also auch knapp 400.000 Kilometer. Aber diese Entfernung wird hauptsächlich bestimmt vom Abstand des Betrachters zur Erdoberfläche. Aber die Berechnung ist im Grunde die gleiche.

Wenn man die Frage aber etwas umformuliert, nämlich nicht: Wie weit ist der Horizont vom Betrachter weg? Sondern: Welche Entfernung auf der Erdoberfläche kann man maximal überblicken? Dann ist klar: Auch vom Mond aus kann man nur die eine Hälfte der Erde sehen. Und wenn man weiß, dass der Erdumfang circa 40.000 Kilometer lang ist, dann ist die Hälfte davon 20.000 Kilometer. Das ist sozusagen die Entfernung von einem Ende der Erde zum anderen.

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