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Wurzel ziehen aus einer Zahl ist eine umgekehrte Potenzrechnung. Ist nur von der Wurzel die Rede, dann meint man meistens die Quadratwurzel √x = x1/2. Die Quadratwurzel aus x ist die Zahl, die mit sich selber multipliziert x ergibt. Weiterhin spricht man von der dritten Wurzel ³√x = x1/3, vierten Wurzel, etc. Eine Wurzel darf prinzipiell nur von einer positiven Zahl gezogen werden. Hier wurde die Wurzelfunktion so erweitert, dass auch ungerade Wurzeln von negativen Zahlen gezogen werden können, z.B. ³√-8 = -2, da -2³ = -8. Bei Wurzel und Zahl können auch Brüche eingegeben werden, z.B. 3/2√-8 = -82/3 = -2² = 4.
Bitte Wurzel und Zahl eingeben, das Ergebnis wird berechnet.
Will man gerade Wurzeln aus negativen Zahlen ziehen, dann benötigt man komplexe Zahlen.
Inhalt
- Wurzelrechnung
- Beispiel: Wurzel- und Exponentenschreibweise
- Beispiel: Wurzelterme zusammenfassen
- Addition und Subtraktion
- Multiplikation
- Division
- Beispiel: Teilweises Wurzelziehen
- Beispiel: Wurzel im Nenner beseitigen
Wurzelrechnung
Wie lassen sich Wurzeln definieren? Das Wurzelziehen (Radizieren) ist die Umkehrung des Potenzierens. Es gilt zum Beispiel:
$3\cdot 3 = 3^{2} = 9\quad\leftrightarrow\quad 3= \sqrt[2]{9}$
Allgemein kannst du diesen Zusammenhang wie folgt formulieren:
$x^{n} = a\quad\leftrightarrow\quad x = \sqrt[n]{a}$
Das Ergebnis $x$ des Wurzelziehens nennt man Wurzel (Radix), die Zahl $a$ unter dem Wurzelzeichen Radikand und den Exponenten $n$ über der Wurzel Wurzelexponent. Bei $n= 2$ spricht man von einer Quadratwurzel, den Wurzelexponenten lässt man hier weg.
$\sqrt[2]{16} = \sqrt{16} = 4$
Quadratwurzeln lassen sich nur aus positiven reellen Zahlen ziehen. Für $n\gt 2$ muss man den Wurzelexponenten dazu schreiben. Ist $n = 3$, spricht man von der Kubikwurzel:
$\sqrt[3]{8} = 2$
Bei ungeraden Wurzelexponenten kann der Radikand auch negativ sein:
$\sqrt[3]{-8} = -2$
Eine kurze Übersicht über die Wurzelgesetze hilft dir beim Rechnen mit Wurzeln:
- Addition und Subtraktion: $a\sqrt[n]{x}\pm b\sqrt[n]{x} = \sqrt[n]{x}\cdot (a\pm b)$
- Multiplikation: $\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a\cdot b}$
- Division: $\sqrt[n]{a} :\sqrt[n]{b} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$
- Potenzieren: $(\sqrt[n]{a})^{m} = \sqrt[n]{a^{m}}$
Es ist möglich, Wurzeln in Potenzen umzuwandeln:
$\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}\\ \sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}}$
Beispiel: Wurzel- und Exponentenschreibweise
$\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$
$\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$
$\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}$
$\sqrt[5]{a^{10}} = a^{\frac{10}{5}} = a^{2}$
$\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$
Setzt man für $a$ Zahlen ein, so erhält man beispielsweise:
$\sqrt{4^{2}} = 4^{\frac{2}{2}} = 4$
$\sqrt[3]{4^{6}} = 4^{\frac{6}{3}} = 4^{2} = 16$
$a^{0,75} = a^{\frac{75}{100}} = a^{\frac{3}{4}} =\sqrt[4]{a^{3}}$
Beispiel: Wurzelterme zusammenfassen
Addition und Subtraktion
$x\cdot\sqrt{a} + y\cdot\sqrt{a} = (x + y)\cdot\sqrt{a}$
$x\cdot\sqrt{a} - y\cdot\sqrt{a} = (x - y)\cdot\sqrt{a}$
Hierzu anschaulich folgende Zahlenbeispiele:
$3\cdot\sqrt{5} + 2\cdot\sqrt{5} = (3 + 2)\cdot\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$
$6\cdot\sqrt{3} - 3\cdot\sqrt{3} = (6 - 3)\cdot\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$
Multiplikation
Es gilt folgendes Wurzelgesetz zur Multiplikation:
$\sqrt{a}\cdot \sqrt{b} = \sqrt{a\cdot b}$
Setzt man für $a$ und $b$ wieder Zahlen ein, erhält man beipielsweise:
$\sqrt{2}\cdot \sqrt{7} = \sqrt{2\cdot 7} = \sqrt{14}$
$\sqrt{2}\cdot \sqrt{18} = \sqrt{2\cdot 18} = \sqrt{36} = 6$
Division
Das Wurzelgesetz zur Division lautet:
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$
$\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{27}{3}} = \sqrt{9} = 3$
Beispiel: Teilweises Wurzelziehen
Durch Zerlegen in Faktoren kann man aus Nichtquadratzahlen teilweise die Wurzel ziehen, wie an folgenden Aufgaben gezeigt wird:
$\sqrt{50} = \sqrt{25\cdot 2} = \sqrt{25}\cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$
$\sqrt{108} = \sqrt{2\cdot 54} = \sqrt{2\cdot 2\cdot27} = \sqrt{2\cdot 2\cdot 3\cdot 9} = 2\cdot 3\cdot\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$
Beispiel: Wurzel im Nenner beseitigen
Durch Umformen lässt sich die Wurzel im Nenner beseitigen:
$\frac{21}{\sqrt{7}} = \frac{21\cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7}\cdot \sqrt{7}} = \frac{21\cdot \sqrt{7}}{7} = 3\sqrt{7}$
$\frac{2}{3\sqrt{2} - 4} = \frac{2\cdot (3\sqrt{2} + 4)}{(3\sqrt{2} - 4)\cdot (3\sqrt{2} + 4)} = \frac{6\cdot \sqrt{2} + 8}{9\cdot 2 - 16} = \frac{6\cdot \sqrt{2} + 8}{18 - 16} = \frac{6\cdot \sqrt{2} + 8}{2} = \frac{2\cdot (3\cdot \sqrt{2} + 4)}{2} = 3\sqrt{2} + 4$
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