Was wenn alle eigenwerte gleich 0

Wichtige Inhalte in diesem Video

In diesem Artikel erfährst du, was ein Eigenwert eigentlich ist und wie man Eigenwerte Schritt für Schritt berechnen kann. An zwei Beispielen wenden wir die Berechnung dann dann praktisch an und zeigen dir, auf was du achten musst!

Noch einprägsamer lässt sich das alles in einem Video vermitteln, das wir zu dem Thema für dich erstellt haben.

• Eigenwerte einfach erklärt
• Eigenwert berechnen
• Eigenschaften

Eigenwerte einfach erklärt

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(00:16)

Die Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor ergibt wieder einen Vektor. Für quadratische Matrizen gibt es bestimmte Vektoren, die man an die Matrix multiplizieren kann, sodass man den selben Vektor als Ergebnis erhält, nur mit einem Vorfaktor multipliziert. Einen solchen Vektor nennt man Eigenvektor und der Vorfaktor heißt Eigenwert einer Matrix.

Eigenwerte und Eigenvektoren

Hat man eine Lösung gefunden, so nennt man die reelle oder komplexe Zahl

einen Eigenwert der Matrix. Der Vektor heißt dann Eigenvektor. Dieser darf nach der Definition nicht der Nullvektor sein. Die Menge der Eigenwerte einer Matrix wird als Spektrum der Matrix bezeichnet.

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Eigenwertproblem, Eigenvektor und Eigenwert

Herleitung

Nun wollen wir zeigen, wie man zu dieser Berechnungsvorschrift gelangt. Dazu betrachten wir erst einmal das Eigenwertproblem, das es zu lösen gilt:

Diese Gleichung lässt sich mithilfe der Einheitsmatrix

umformulieren:

Gibt es nun eine Zahl

und einen Vektor , sodass dieser durch Multiplikation mit der Matrix  auf den Nullvektor abgebildet wird, so ist diese Matrix nicht von vollem Rang und die Multiplikation mit einem Vektor nicht injektiv. Dass die Matrix  keinen vollen Rang besitzt ist gleichbedeutend damit, dass ihre Determinante Null ist. Wenn es also eine Lösung des Eigenwertproblems gibt, muss gelten:

Um das Eigenwertproblem zu lösen, müssen also die Nullstellen des charakteristischen Polynoms

ermittelt werden, genau wie es der Algorithmus vorschreibt.

Beispiel: Eigenwert 3×3-Matrix

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(02:43)

Nun wollen wir für eine 3×3-Matrix die Eigenwerte bestimmen. Dazu betrachten wir die folgende Matrix:

Wir wollen im Folgenden die drei Schritte des Algorithmus einzeln abarbeiten.

Zunächst berechnen wir dazu die Matrix 

:

Anschließend ermitteln wir deren Determinante:

Im letzten Schritt müssen wir die Nullstellen dieses Polynoms bestimmen. Durch Ausprobieren erhalten wir schnell die erste Nullstelle

. Klammern wir dann den Faktor aus, erhalten wir:

.

Die restlichen Nullstellen sind also Nullstellen des Polynoms

. Diese lassen sich mithilfe der Mitternachtsformel bestimmen:

Somit lauten die drei Eigenwerte der 3×3-Matrix

.

Beispiel: Eigenwert symmetrische Matrix

In diesem Beispiel soll die symmetrische Matrix

betrachtet werden. Auch hier wollen wir die Eigenwerte bestimmen.

Im ersten Schritt berechnen wir also wieder die Matrix 

:

Nun bestimmen wir ihre Determinante:

Der letzte Schritt besteht nun darin, die Nullstellen dieses Polynoms zu bestimmen. In der dargestellten Form des Polynoms lassen sich diese einfach ablesen. Die Eigenwerte der Matrix sind also

.

Eigenschaften

Will man Eigenwerte berechnen, so ist es häufig nützlich, wenn man ein paar Eigenschaften darüber kennt. Daher sollen im Folgenden ein paar derer aufgezählt werden.

Mit Kenntnis dieser Eigenschaften lassen sich häufig Eigenwerte bestimmen, ohne dabei viel rechnen zu müssen.

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