Wird eine mathematische Operation mehrmals verkettet, so kann diese Operation - sofern das Assoziativgesetz gilt - in jeder beliebigen Reihenfolge durchgeführt werden. Das folgende Beispiel soll dies verdeutlichen: Show
Beispiel Es soll nun folgende Menge gebildet werden: Dies kann auf zwei Varianten erreicht werden: Variante I: Das bedeutet, dass zuerst die Schnittmenge von A und B ermittelt wird. Anschließend wird die Schnittmenge von diesem Ergebnis mit der Menge C gebildet. Variante II: In dieser Variante wird zuerst die Schnittmenge von B und C ermittelt. Anschließend wird die Schnittmenge von diesem Ergebnis mit der Menge A gebildet. Lösung der Variante I: Lösung der Variante II: Man erkennt an diesen beiden Beispielen, dass bei der Schnittmengen-Operation das Assoziativgesetz gelten dürfte. Dies ist natürlich kein vollständiger Beweis, soll aber auch nur das Prinzip des Assoziativgesetzes nahe bringen. In diesem Kapitel besprechen wir das Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz). Dabei beschränken wir uns auf das Assoziativgesetz der Addition bzw. der Multiplikation. Inhaltsverzeichnis
Assoziativgesetz der Addition
Das Assoziativgesetz der Addition besagt, dass sich das Ergebnis einer Addition nicht ändert, wenn man Klammern umsetzt (oder ganz weglässt). Merke: In reinen Summen darf man die Reihenfolge der Rechnungen selbst festlegen! Beispiel 1
Beispiel 2
Beispiel 3
Assoziativgesetz der Multiplikation
Das Assoziativgesetz der Multiplikation besagt, dass sich das Ergebnis einer Multiplikation nicht ändert, wenn man Klammern umsetzt (oder ganz weglässt). Das Assoziativgesetz besagt, dass bei der reinen Multiplikation und bei der reinen Addition mehrerer Zahlen die Klammern beliebig gesetzt werden dürfen. Die Reihenfolge der Berechnung ist also egal. Beispiel: (3+7)+12=3+(7+12)\left(3+7\right)+12=3+\left(7+12\right)(3+7)+12=3+(7+12) oder (5⋅16)⋅34 =5⋅(16⋅34)\left(5\cdot16\right)\cdot34\ =5\cdot\left(16\cdot34\right)(5⋅16)⋅34 =5⋅(16⋅34) Assoziativgesetz für AdditionAllgemein(a+b)+c = a+(b+c)\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\left(a+b\right)+c\;=\;a+\left(b+c\right)\end{array}Das Assoziativgesetz bereitet dir Kopfschmerzen und du möchtest es endlich verstehen? Kein Problem, wir helfen dir! In diesem Artikel lernst du alles, was du brauchst, damit du das Gesetz in Zukunft problemlos anwenden kannst. Inhalt
Was ist das Assoziativgesetz überhaupt?Das Assoziativgesetz ist eine mathematische Regel.
Wie lautet das Assoziativgesetz?(a+b)+c = a+(b+c) Für was braucht man das Assoziativgesetz?
Assoziativ – was heißt das überhaupt?Das Wort Assoziativgesetz kommt vom lateinischen Wort associare. Das heißt “verbinden” oder “verknüpfen”. Deshalb wird das Assoziativgesetz auch Verknüpfungsgesetz genannt. Fangen wir mit dieser Rechnung an: (3 + 4) + 5 = 3 + (4 +5) Wenn du jetzt erst die Klammern auf beiden Seiten ausrechnest, erhältst du: 7 +5 = 3 + 9 und diese Additionen ergeben: 12 = 12 Wie du siehst, sind beide Seiten von Anfang an gleich. Egal wo die Klammer steht. Und das Gleiche noch beim Multiplizieren: (7•6)•9 = 7•(6•9) Auch hier ist es egal, wo die Klammern sind Das Assoziativgesetz gilt auch bei längeren Rechnungen mit mehr Klammern: (1•(3•2•6)•(2•8))•9 = (1•3)•(2•6)•(2•8)•9 3+((4+2+7)+(1+4)+(9+12)) = (3+4)+(2+7+1)+(4+9+12) Verknüpfen, vertauschen, verteilen – ein Überblick über die mathematischen GesetzeEs gibt drei wichtige mathematische Gesetze, die du können solltest.
Was ist das Kommutativgesetz?
5+6 = 6+5 3•4 = 4•3 Das Kommutativgesetz wird auch Vertauschungsgesetz genannt. Das Distributivgesetz heißt auch Verteilungsgesetz. Was ist das Distributivgesetz?4•(5+7) = 4•5 + 4•7 5•(9-3) = 5•9 – 5•3
Additionen verknüpfenWie wir oben gesehen haben, gilt das Assoziativgesetz für reine Additionen. Das sind Rechnungen bei denen nur + verwendet wird. Schauen wir uns ein paar weitere Beispiele für das Assoziativgesetz bei Additionen an. 100+(513+12) = (100+513)+12 ((85+90)+(17+34))+78 = 85+(90+17)+(34+78) Assoziativgesetz bei der MultiplikationNeben der reinen Addition kannst du das Assoziativgesetz auch bei der reinen Multiplikation anwenden. Auch hier bedeutet das “rein”, dass nur eine Rechenart verwendet wird. In diesem Fall das Malrechnen. Hier nochmal zwei Beispiele: 30•(15•9) = (30•15)•9 5•((6•3•9)•8)•7 = (5•6)•3•(9•8•7) Hast du eine Rechnung, bei der plus und mal gerechnet wird, kannst du das Assoziativgesetz nicht anwenden. Es geht nur bei reinen Additionen und reinen Multiplikationen. Subtrahieren und dividieren – hier kannst du nicht verknüpfenWir haben bisher immer nur von Additionen und Multiplikationen gesprochen und das hat auch einen Grund. Das Assoziativgesetz kannst du nicht anwenden, wenn minus oder geteilt gerechnet wird. Wir zeigen dir auch warum. Das passiert, wenn du die Klammer bei einer Subtraktion vertauschst: (80-35)+40 ≠ 80-(34+40) (10-6)-4 ≠ 10-(6-4) Und hier siehst du, was das Verschieben der Klammer bei einer Division anrichtet: (54:9)+9≠54:(9+9) (100:10):2 ≠ 100:(10:2)
Assoziativgesetz – wann nicht verwenden?Denk immer daran: Bei Subtraktionen und Divisionen kannst du die Klammer(n) nicht beliebig verschieben. Verknüpfen immer nur bei plus und mal. SpickzettelHier kannst du unseren Spickzettel für dich runterladen. Fazit: Alle Fragen geklärt? Super! Wir freuen uns immer, wenn wir helfen können und wenn du magst, kannst du uns ein Kommentar dalassen. Hier werdet ihr Profi! Assoziativgesetz Übungen mit LösungenWenn du willst, kannst du das Assoziativgesetz hier direkt ein bisschen üben: Entscheide für jede Zeile, ob man das Assoziativgesetz anwenden und die Klammer(n) beliebig verschieben kann. Klicke einfach auf die Zeile, um die Lösung anzuzeigen. (2-5)+3Nein, da minus gerechnet wird. 4•(2•5)Ja, da es eine reine Multiplikation ist. 2+(4•3)Nein, da die Rechnung mehrere Rechenarten enthält. 4:(8:2)Nein, weil dividiert wird. (12+(10+4))+9Ja, weil es sich um eine reine Addition handelt. 6•(3+4•2)Nein, weil die Rechnung verschiedene Rechenarten enthält. 2•(4•((3•1)•5))Ja, weil es eine reine Multiplikation ist. Du möchtest deine Mathe Kenntnisse noch weiter aufbessern? Dann schau doch gerne bei unserer Mathe Nachhilfe vorbei. Egal ob bei dir Zuhause oder doch Online – das Nachhilfe-Team ist deutschlandweit tätig und steht den Nachhilfeschülern stets flexibel zur Seite. Was ist ein Assoziativgesetz in Mathe?Das Assoziativgesetz besagt, dass du Klammern bei einer Addition ( + ) beliebig setzen kannst. Das Ergebnis ändert sich dabei nicht. Die Reihenfolge, in der du die Zahlen addierst, spielt also keine Rolle. Das Gleiche gilt auch bei einer Multiplikation (⋅ ).
Was ist das Assoziativgesetz für Kinder erklärt?Das Assoziativgesetz besagt, dass bei der reinen Multiplikation und bei der reinen Addition mehrerer Zahlen die Klammern beliebig gesetzt werden dürfen. Die Reihenfolge der Berechnung ist also egal.
Was kann das Assoziativgesetz?Es gilt auch für die Addition. „Das Assoziativgesetz gilt nur für Addition und Multiplikation.
Wann kann man das Assoziativgesetz anwenden?Neben der reinen Addition kannst du das Assoziativgesetz auch bei der reinen Multiplikation anwenden.
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