Was bedeutet ellipsoid kleiner gleich 1

Q: Was ist eine elliptische Form?

Ellipse f. in der Geometrie geschlossene ebene Kurve, für deren sämtliche Punkte die Summe der Abstände von zwei festen Brennpunkten konstant ist, in der Sprachwissenschaft Auslassung von weniger wichtigen, aus dem Zusammenhang leicht ersichtlichen Redeteilen.

In der nebenstehenden Zeichnung ist die Entfernung der Brennpunkte 2e=4 konstant und für die Halbachse gilt beispielsweise b=1, 2, 3 und 4.

Inhaltsverzeichnis Show

Welche Ellipsoide gibt es?
Wie viele Flächen hat ein Ellipsoid?
Wie ist eine Ellipse definiert?
Was ist eine elliptische Form?

Vier Scharen von Ellipsen

x²/k²+y²/1²=1

x²/1²+y²/k²=1

x²/2²+y²/1²=k

x²/(1+k²)+y²/k²=1

Für die Parameterdarstellungen gilt: 0 >= k <= 2 und Schrittlänge 10.

Eine weitere Definition der Ellipse top
Für die mit der Ellipse verwandte Parabel gilt der folgende kennzeichnende Satz.
Alle Punkte, die von einer Gerade l und von einem Punkt F die gleiche Entfernung haben, liegen auf einer Parabel. Die Gerade heißt Leitlinie und der Punkt Brennpunkt.

Einen ähnlichen "notwendig und hinreichenden Satz" gibt es auch für die Ellipse. Da sind die Entfernungen nicht gleich, sondern sie stehen in einem konstanten Verhältnis zueinander. ...

...
Man zeichnet parallel zur Achse eine Gerade im Abstand a²/e.

Für den Ellipsenpunkt P(e|p) oberhalb des Brennpunktes F2 gilt
PP1:PF2= (a²/e-e):p. Setzt man p=b²/a=(a²-e²)/a, so ist PP1:PF2=a:e.

...

...Ist P ein beliebiger Ellipsenpunkt, und verbindet man ihn mit einem Brennpunkt und zeichnet zu ihm die Senkrechte zur "Leitlinie" l, so gilt auch PP1:PF2=a:e.

Herleitung...

...P sei ein beliebiger Ellipsenpunkt. Dann gilt s1+s2=2a.
Nach dem Satz des Pythagoras gilt weiter y²=s1²-(e+x)² und y²=s2²-(e-x)².
Daraus folgt s1²-(e+x)²=s2²-(e-x)² oder s1²-s2²=(e+x)²-(e-x)² oder s1²-s2²=4ex.
Wegen s1²-s2²=(s1+s2)(s1-s2) und s1+s2=2a ist 2a(s1-s2)=4ex oder s1-s2=2ex/a.Die Gleichungen s1-s2=2ex/a und s1+s2=2a führen zu x=(a²-s2a)/e.
Für den Abstand des Ellipsenpunktes von der Leitlinie gilt d=a²/e-x=a²/e-(a²-s2a)/e=as1/e.
Damit ergibt sich die Proportion d:s2=a:e. Das Verhältnis ist damit unabhängig von der Lage des Ellipsenpunktes und ist für alle Punkte gleich.
Es lässt sich in der Umkehrung zeigen, dass aus d/s2=a/e die Gleichung s1+s2=2a folgt.

Folglich könnte man die Ellipse auch so definieren.
Die Ellipse ist der geometrische Ort aller Punkte, für die das Verhältnis ihres Abstands d von einer Leitlinie und ihrer Entfernung s von einem Brennpunkt einen konstanten Wert annimmt.
(5), Seite 329f.

Gerade und Ellipse top

...

...Eine Ellipse und eine Gerade schneiden sich in zwei Punkten, in einem Punkt oder gar nicht.Der Fall eines Schnittpunktes wird weiter verfolgt.

Tangentengleichung...

...Lautet die Ellipsengleichung x²/a²+y²/b²=1 und ist der Berührpunkt P(x1| y1), so ist die Gleichung der Tangente xx1/a²+yy1/b²=1 Herleitung
>Die Ellipsengleichung ist in der Form b²x²+a²y²=a²b² handlicher.
Die Ableitung beider Seiten ergibt 2b²x+2a²yy'=0 oder nach y' aufgelöst y'=-(b²x)/(a²y).
>Für eine Gerade gilt die Punktrichtungsform (y-y1)/(x-x1)=y'. Dabei ist P(x1| y1) der Berührpunkt und y' die Steigung der Ellipse im Punkte P.
>Eine Kombination der Gleichungen führt zur Tangentengleichung (y-y1)/(x-x1)=-(b²x)/(a²y) und weiter zu xx1/a²+yy1/b²=1, wzbw..

Ellipse zeichnen top
1.Fall: Gegeben sind die Brennpunkte der Ellipse und die große Halbachse a.
Fadenkonstruktion

...

...>Befestige die Enden eines Fadens in den Punkten F1 und F2. Der Faden hat die Länge 2a.
>Stecke in die Schlaufe einen Stift und zeichne die Ellipse. Achte darauf, dass der Faden gespannt ist.
Diese Zeichnung wird durch die Definition der Ellipse erklärt.

2.Fall Gegeben sind die Halbachsen a und b.
Punktweise Konstruktion...

...>Zeichne in ein Koordinatensystem zwei konzentrische Kreise mit den Radien a und b.
Die Mittelpunkte liegen im Nullpunkt des Koordinatensystems
>Zeichne einen Radius des großen Kreises ein. Er schneidet die Kreise in P1 und P2.
>Zeichne durch P1 eine Horizontale und durch P2 eine Vertikale.
>Bezeichne den Schnittpunkt dieser Geraden mit Punkt P. P ist der Punkt einer Ellipse.Beweis...

...Nach dem ersten Strahlensatz gilt die Proportion P2'P:P2'P2=MP1:MP2.
Darin ist P2'P=y, MP1=b und MP2=a. Nach dem Satz des Pythagoras ist P2'P2=sqrt(a²-x²).
Das führt zu y:sqrt(a²-x²)=b:a oder ay=b*sqrt(a²-x²) oder x²/a²+y²/b²=1, wzbw..Weitere Konstruktionen findet man auf der Webseite der GRAZ-ORTWEINSCHULE und bei Steven Dutch (URL unten).

Zeichnung mit Paint
Die meisten Ellipsen auf dieser Seite entstanden mit Hilfe des Zeichenprogramms Paint. Man findet es bei Windows versteckt mit dem Pfad Startmenü/Zubehör/Paint.
[Stiftung Warentest bezeichnete es einmal in einem Test als ein Programm für Vierjährige ;-).]...

...Es soll eine Ellipse mit den Halbachsen a=50 Pixel, b=35 Pixel gezeichnet werden.
>Gehe auf das Feld Ellipse der Toolbox.
>Starte in A und gehe diagonal mit gedrückter Maustaste auf Punkt B zu.
>Lasse die Maustaste los, wenn auf der Statusleiste unten rechts 100x70 erscheint.
>Die Ellipse ist fertig.

Zwei weitere Formen der Ellipsengleichung top
Parameterform

...

...Oben wurde gezeigt, dass man einen Ellipsenpunkt mit Hilfe zweier konzentrischer Kreise mit den Radien a und b konstruieren kann.
Führt man den Winkel t ein, wie aus der Zeichnung zu ersehen, so lassen sich die Koordinaten eines Ellipsenpunktes durch diesen Winkel und den Halbachsen ausdrücken.
Im Dreieck MP2'P2 gilt x=a*cos(t), im Dreieck MP1'P1 gilt y=b*sin(t).Das ist die Parameterdarstellung der Ellipse: x=a*cos(t) /\ y=b*sin(t).

Polarform...

...Eine Ellipse wird im allgemeinen durch die Mittelpunktgleichung x²/a²+y²/b²=1 gegeben. Nun kann man einen Punkt auch durch seine Entfernung vom Nullpunkt des Koordinatensystems und durch den Winkel t mit der positiven x-Achse geben. Das sind die Polarkoordinaten. Legt man den Nullpunkt in einen Brennpunkt der Ellipse, so ändert sich die Ellipsengleichung zu (x-e)²/a²+y²/b²=1. Die Polargleichung ist dann relativ einfach. Sie lautet

Epsilon heißt die numerische Exzentrizität der Ellipse. Es gilt epsilon<1.

Zur Herleitung
Setzt man die beiden Gleichungen x=a*cos(t) /\ y=b*sin(t) der Parameterform in (x-e)²/a²+y²/b²=1, so erhält man

Das ist eine quadratische Gleichung in r. Die positive Lösung ist die gesuchte Polarform der Ellipsengleichung.

Flächeninhalt und Umfang top
Eine Ellipse wird im Allgemeinen durch die beiden Halbachsen a und b festgelegt.
Dann stellt sich das Problem, aus den beiden Größen den Flächeninhalt und den Umfang zu berechnen.

Der Flächeninhalt ist A=pi*ab.
Herleitung

...

...Es genügt, die Viertelellipse im ersten Quadranten zu betrachten.
Es folgt aus x²/a²+y²/b²=1 die Funktionsgleichung y=(b/a)sqrt(a²-x²). Dann gilt

Das Integral kann durch die Substitution x=a*sin(t) berechnet werden.
Es gilt dann sqrt(a²-x²)=a*cos(t) und dx=a*cos(t)dt.
Das führt zu neuen Grenzen: Statt x=0 setzt man t=0 und statt x=a setzt man t=pi/2 wegen a=a*sin(t) bzw. sin(t)=1.
Für das Intergral heißt das

Damit ist A=pi*ab.

nach (4), Seite 852f.

Der Umfang kann nicht durch eine elementare Funktion angegeben werden, nur als "elliptisches" Integral

Man kann das Integral näherungsweise über eine Reihenentwicklung des Integranden bestimmen. Man erhält z.B.

Mehr bei (2), Seite 265

Sammlung von Aussagen zur Ellipse top

...

...Eine Ellipse entsteht als Schnittlinie, wenn man durch einen geraden Kreiszylinder einen schrägen Schnitt legt.

...

...Stellt man die Zeichnung auf den Kopf, so bietet sich die folgende Deutung an.

Ein Kreis wird auf eine schräge Ebene parallel projiziert. In ihr liegt dann eine Ellipse.

Mittelpunkte paralleler Sehnen...

...Eine Strecke innerhalb der Ellipse durch den Mittelpunkt (rot) heißt Durchmesser.
Zeichnet man zu einem Durchmesser die Parallelen, so liegen die Mittelpunkte der Sehnen auf einem zweiten Durchmesser, dem konjugierten Durchmesser.

Mittelpunkte paralleler Sehnen zum konjugierten Durchmesser...

...Zeichnet man zum konjugierten Durchmesser wiederum die Parallelen und halbiert sie, so liegen die Halbierungspunkte wieder den ursprünglichen Ellipsendurchmesser.Zwei Anmerkungen
>Die beiden Achsen der Ellipse sind auch konjugierte Durchmesser.
>Projiziert man einen Kreis auf eine schiefe Ebene und erzeugt so eine Ellipse, so werden dabei aufeinander senkrecht stehende Durchmesser zu konjugierten Durchmessern.

Zwei Formeln zu konjugierten Durchmessern...

...Sind m1 und m2 die Steigungen konjugierter Durchmesser, so gilt m1m2=-b²/a².
Sind a1und b1 zugeordnete Halbmesser, so gilt a²+b²=a1²+b1².

Reflexion von Brennstrahlen...

...Verbindet man die Brennpunkte der Ellipse mit einem ihrer Punkte, so entsteht ein Winkel. Dieser Winkel wird von einer Normalen, einer Senkrechten zur Tangente, halbiert. - So kann ein Flüstergewölbe wie rechts erklärt werden. Die Köpfe von Sprecher und Hörer befinden sich in den Brennpunkten. ...

...

Krümmungskreise...

...În den Hauptscheitelpunkten der Ellipse links sind zwei Kreise eingezeichnet, die die Ellipse in diesen Punkten gut annähern.
Die Radien sind r=b²/a.

Hüllkonstruktion der Ellipse...

...Zeichnet man von einem Brennpunkt der Ellipse aus die Senkrechte zur Tangente, so liegt der Fußpunkt des Lotes auf dem Hauptkreis der Ellipse. Das ist der Kreis mit dem Radius a und demselben Mittelpunkt wie die Ellipse.

Aus diesem Satz folgt die Hüllkonstruktion der Ellipse.

Größtes Rechteck in der Ellipse
Passt man in eine Ellipse ein Rechteck ein, so stellt sich die Frage nach dem größten Rechteck. ...

...Die Zielfunktion heißt A=4xy oder A²=16x²y².
Die Ellipsengleichung liefert die Nebenbedingung x²/a²+y²/b²=1 oder y²=b²-(b²/a²)x².
Dann ist A²=16x²[b²-(b²/a²)x²] oder A2=16b2x2-(16b2/a2)x4
Weiter ist die erste Ableitung (A²)'=32b²x-(64b²/a²)x³=32b²x(1-2x²/a²).
(A²)'=0 führt zu 1-2x²/a²=0 oder x²=(1/2)a² oder x=(1/2)sqrt(2)a oder 2x=sqrt(2)a.
Die Gleichung y²=b²-(b²/a²)x² führt zu y=(1/2)sqrt(2)b odr 2y=sqrt(2)b.
Die zweite Ableitung (A²)''=-4x/a²<0 stellt sicher, dass das Rechteck wirklich maximal ist.

Artet die Ellipse zu einem Kreis aus, gilt also a=b=r, so ist 2x=2y=sqrt(2)r und aus dem maximalen Rechteck wird ein Quadrat.

Ellipse als Kegelschnitt top
Kegelschnitte

...

...Legt man durch einen geraden Doppelkegel ebene Schnittflächen, so entstehen im wesentlichen vier Arten von Linien.
1 Ein Schnitt parallel zum Grundkreis führt zum Kreis.
2 Eine Schnittebene, die den zweiten Einzelkegel nicht trifft, erzeugt eine Ellipse.
3 Eine Schnittebene, die beide Einzelkegel erreicht, erzeugt eine Hyperbel.
4 Ein Schnitt parallel zu einer Mantellinie ergibt eine Parabel.

Rechts die vier Linien in der bekannten Darstellung in einem Koordinatensystem.

...

Scheitelgleichungen der Kegelschnitte...

...Die Scheitelgleichung für Kegelschnitte lautet: y²=2px+(epsilon²-1)x²

Es ergeben sich
> der Kreis für epsilon = 0
> die Ellipse für epsilon = 0,8
> die Parabel für epsilon = 1
> die Hyperbel für epsilon = 1,2.

Quadratische Gleichung mit zwei Variablen...

...Alle Kegelschnitte erfasst man auch durch die Gleichung Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0.
Eine Ellipse liegt vor, wenn im wesentlichen 4AC-B²>0 ist (3).

Die nebenstehende Ellipse ist der Graph der Relation 3x²-2xy+3y²-2x-2y=0.
Es ist 4AC-B²=4*3*3-2²=32>0
Offensichtlich bewirkt der Term mit xy eine Neigung der Symmetrieachsen.

Quelle: (2) Aufgabe 991a

Kurven zur Ellipsetop
Fußpunktkurven

Mehr auf meiner Seite Fußpunktkurve

Evolute...

...Eine Evolute ist der geometrische Ort der Mittelpunkte der Krümmungskreise einer Kurve.

Die Evolute der Ellipse mit x²/4+y²/1=1 ist die Astroide mit x(t) = (3/2) cos³(t) und y(t) = -3 sin³(t).

Welche Ellipsoide gibt es?

Für viele Staaten Mitteleuropas ist das Bessel-Ellipsoid wichtig, ferner die Ellipsoide von Hayford und Krassowski (Schreibweise uneinheitlich), und für GPS-Vermessungen das WGS84. Die Resultate von Delambre und von Schmidt sind Pionierarbeiten und beruhen auf nur begrenzten Messungen.

Wie viele Flächen hat ein Ellipsoid?

Ein Ellipsoid besitzt drei zueinander rechtwinklige Symmetrieebenen und drei Hauptachsen x, y und z. Alle Schnittflächen, die parallel zu einer der drei Symmetrieebenen verlaufen, sind Ellipsen.

Wie ist eine Ellipse definiert?

Ortsdefinition der Ellipse lautet: Eine Ellipse ist die Menge (der geometrische Ort) aller Punkte, für welche die Summe der Abstände zu zwei festen Punkten F₁ und F₂ gleich einer Konstanten 2a ist (wobei 2a > |F₁F₂| sein muß).

Was ist eine elliptische Form?

Ellipse f. in der Geometrie 'geschlossene ebene Kurve, für deren sämtliche Punkte die Summe der Abstände von zwei festen Brennpunkten konstant ist', in der Sprachwissenschaft 'Auslassung von weniger wichtigen, aus dem Zusammenhang leicht ersichtlichen Redeteilen'.