Warum ist der preis gleich grenzkosten

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Grenzkosten Definition

Grenzkosten bezeichnen die Kosten, die entstehen, wenn eine Einheit eines Produkts mehr hergestellt wird.

Umgekehrt sind die Grenzkosten die Kosten, die wegfallen, wenn ein Stück weniger produziert wird.

In der Regel entsprechen die Grenzkosten den variablen Kosten. Die Grenzkosten können durchaus auch 0 oder nahe 0 sein: z.B. bei Software – eine weitere Kopie kostet das Softwareunternehmen nichts (im Falle von Downloads) oder sehr wenig (falls als CD geliefert).

Etwas weitergehend meint der Begriff inkrementelle Kosten auch die zusätzlichen Kosten, die durch eine Entscheidung bzw. Investition anfallen.

Alternative Begriffe: inkrementelle Kosten, marginale Kosten, Marginalkosten, incremental cost bzw. marginal cost (englisch).

Beispiel Grenzkosten

Beispiel für Grenzkosten

Ein Glühweinstand hat Fixkosten (z.B. Standmiete) in Höhe von 150 Euro täglich. Ein Becher Glühwein kostet den Standbetreiber 1 Euro im Einkauf; der Becher Glühwein wird für 2 Euro verkauft.

Die Grenzkosten, die aus den variablen Kosten (hier: dem Einkaufspreis) in Höhe von 1 Euro bestehen, betragen 1 Euro.

D.h., wird ein Becher Glühwein mehr verkauft, fallen Grenzkosten in Höhe von 1 Euro an.

Abweichung von variablen Kosten

Die Grenzkosten können auch von den (durchschnittlichen) variablen Kosten abweichen, z.B. dann, wenn der Einkaufspreis eines Bechers Glühwein bei Überschreiten einer bestimmten Absatzmenge von 1 Euro auf 0,80 Euro (für die über der festgesetzten Absatzmenge bezogenen Einheiten) sinkt.

Die Grenzkosten betragen in dem Fall lediglich 0,80 Euro.

Grenzkostenfunktion

Die Grenzkostenfunktion ist die 1. Ableitung der (Gesamt-)Kostenfunktion

Grenzkostenfunktion Beispiel

In dem obigen Beispiel war die Gesamtkostenfunktion (mit x für die Menge): Gesamtkosten K (x) = 150 € + x × 1 €.

Die 1. Ableitung der Gesamtkostenfunktion nach der Menge x – und damit die Grenzkostenfunktion – ist: Grenzkosten K' (x) = 1 €.

Die Grenzkosten sind laut Definition der BWL und der Mikroökonomie die Kosten, die bei der Produktion einer zusätzlichen Wareneinheit, also einem Stück, entstehen. Allerdings können die Kosten auch so betrachtet werden, dass es sich um den Geldwert handelt, der wegfällt, wenn eine Einheit weniger produziert wird. Für gewöhnlich variable Kosten und Grenzkosten identisch. Die Grenzkosten werden in einem Unternehmen in der Kostenrechnung und auch im Controlling errechnet.

Beispiel: Die Firma von Herrn Gruber produziert Handtaschen. Die Herstellung einer Kollektion mit 10.000 Taschen kostet die Firma 100.000 Euro Fixkosten. Diese Kosten decken allerdings nur die Miete für eine Produktionshalle in Deutschland, die Gehälter der Mitarbeiter:innen und die Kosten der benötigten Maschinen ab. Sobald die Mitarbeiter:innen von Herrn Gruber mit der Produktion einer Handtasche beginnen, kommen die Kosten für die Rohstoffe hinzu. Diese betragen 20 Euro. Für die erste Tasche fallen Kosten in Höhe von 100.020 Euro an. Mit jeder weiteren Tasche erhöhen sich diese Kosten um weitere 20 Euro – genau dieser Betrag sind die Grenzkosten.

Grenzkosten berechnen

Die Grenzkostenfunktion ist die erste Ableitung der Kostenfunktion, in der die Gesamtkosten genannt werden. Dabei wird die folgende Funktion genutzt, um Grenzkosten zu berechnen:

Gesamtkosten K (x) = Fixkosten + x × Produktionspreis

Da wir die erste Ableitung der Kostenfunktion bilden, um die Grenzkostenfunktion zu erhalten, kommen wir so auf das Ergebnis:

Gesamtkosten K‘ (x) = Produktionspreis

Um die Gleichung zu vereinfachen, ersetzen wir die Variablen durch die Daten aus unserem Beispiel.

Gesamtkosten K (x) = 100.000 Euro + x × 20 €

In unserem Fall kämen wir zu der Ableitung: Gesamtkosten K‘ (x) = 20 €

Die Grenzkosten richten sich nach der Branche

In unserem Beispiel werden Rohstoffe benötigt, weshalb die Grenzkosten relativ einfach zu berechnen sind. In anderen Bereichen kann es auch vorkommen, dass die Grenzkosten marginal oder sogar ohne Wert sind. Deshalb werden die Grenzkosten vereinzelt auch als marginale Kosten oder Marginalkosten bezeichnet.

Achtung: Davon auszugehen, dass die Grenzkosten pro produzierte Einheit immer gleich sind, ist unrealistisch. So können Unternehmen ab einer gewissen Menge zum Beispiel von Nachlässen profitieren, da ihnen die Lieferant:innen auf Rohstoffe Rabatt gewähren. Solche Fälle müssen bei der Berechnung bedacht werden.

Dieser Kurstext behandelt die Gesamtkosten, Grenzkosten und Durchschnittskosten. Auf jede Kostenart gehen wir nacheinander ein. 

Gesamtkosten

Die Gesamtkosten stellen die Summe aus fixen und variablen Kosten dar. Diese Kostenfunktion $K(x)$ setzt sich also aus den fixen Kosten $K_f$ und den variablen Kosten $K_v$ zusammen. 

Kosten

Nehmen wir an, dass ein Unternehmen ein Produkt $x_1$ produziert. Zur Herstellung dieses Produktes werden 2 Inputfaktoren $r_1$ und $r_2$ benötigt. Die Kosten für die Beschaffung dieser Inputfaktoren werden bezeichnet mit $q_1$ und $q_2$. Die Kostenfunktion sieht dann wie folgt aus:

$K(x) = q_1r_1(x_1) + q_2r_2(x_1) + K_f$

mit $K_v = q_1r_1(x_1) + q_2r_2(x_1)$

Merke

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Gesamtkosten: $K(x) = K_v + K_f$

Beispiel

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Das Unternehmen aus dem vorherigen Beispiel benötigt zur Produktion der Fußbälle zwei Inputfaktoren. Das sind eine Einheit Gummi $r_1= 1$ und zwei Einheiten Leder $r_2 = 2$. Die Kosten für eine Einheit Gummi betragen $q_1 = 0,5 €$ und für eine Einheit Leder $q_2 = 0,75 €$. Die Fixkosten betragen 50.000 €. Wie sieht die Kostenfunktion aus?

$K_v = q_1r_1(x_1) + q_2r_2(x_1) = 2$ €/Stück

$K_f = 50.000 €$

$K(x) = 2x + 50.000$

Grenzkosten

Grenzkosten (oder auch Marginalkosten) sind diejenigen Kosten, die durch die Produktion einer zusätzlichen Einheit anfallen. 

Beispiel

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Gegeben sei das obige Beispiel. 

Bei einer Produktion von 10.000 Fußbällen hat das Unternehmen Kosten in Höhe von $K(x) = 70.000 €$, produziert das Unternehmen 10.001 Fußbälle steigen die Kosten auf $K(x) = 70.002 €$, bei 10.002 Stück betragen die Kosten $K(x) = 70.004 €$ usw.

Die Grenzkosten sind die Kosten die anfallen, wenn eine Einheit mehr produziert wird. In diesem Beispiel also 2 €.

Mathematisch errechnen sich die Grenzkosten durch die Ableitung der Kostenfunktion nach $x$:

$K(x) = 2x + 50.000$

$K´(x) = 2$

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Grenzkosten: $K´(x)$

Sinkende Grenzkosten

Unternehmen mit hohen Fixkosten tendieren in der Regel zur Produktion einer großen Stückzahl. Grund ist die Verteilung der Fixkosten auf eine hohe Menge, aber auch beispielsweise die Ausnutzung von Rabatten für Inputfaktoren. Letzteres führt dazu, dass die Grenzkosten fallen.

In dem obigen Beispiel liegen die Grenzkosten konstant bei $2 €$ pro Stück. Also mit jedem produzierten Fußball steigen die Kosten um $2 €$ an. Nehmen wir nun an, dass das Unternehmen ab einer Produktion von 20.000 Fußbällen einen Rabatt bei dem Zulieferer des Leders erhält. Das Leder kann nun für $q_2´= 0,5 €$  statt $q_2 = 0,75 €$ eingekauft werden. Das bedeutet nun, dass seine Kostenfunktion und seine Grenzkosten wie folgt aussehen:

$K(x) = 1,5x + 50.000$

$K´(x) = 1,5$

Ab einer Produktion von 20.000 Fußbällen betragen die Grenzkosten nur noch $1,5 €$ statt $2 €$. 

Steigende Grenzkosten

Es kann auch sein, dass ab einer bestimmten Menge die Grenzkosten wieder ansteigen. Dies ist der Fall, wenn die Produktion an ihre Kapazitäten stößt. Etwa dann, wenn der Lieferant für Leder nicht mehr als 40.000 Einheiten an Leder liefern kann. Es müsste also ein neuer Lieferant gesucht werden. Angenommen das Unternehmen möchte aufgrund der gestiegenen Nachfrage 30.000 Fußbälle produzieren. 25.000 der Fußbälle kann der alte Lieferant für Leder abdecken, für 5.000 Fußbälle hingegen wird ein neuer Lederlieferant herangezogen mit einem Preis je Einheit von $q_2(neu) = 1 €$. 

Die Kostenfunktion für die 5.000 Fußbälle sieht wie folgt aus:

$K(x) = 2,5 € + 50.000$

Der Grenzkostenverlauf ist also wie folgt:

Unter 20.000 Stück = 2 €                       (alter Lieferant ohne Rabatt)

20.000 - 25.000 Stück = 1,5 €                (alter Lieferant mit Rabatt)

Weitere Fußbälle  = 2,5 €                        (neuer Lieferant)

Durchschnittskosten

Die Durchschnittskosten (oder auch Stückkosten) sind die durchschnittlichen Kosten pro Stück. Berechnet werden diese indem die Kosten durch die produzierte Menge dividiert werden. 

Merke

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Durchschnittskosten: $k(x) = \frac{K(x)}{x}$

Wir nehmen wieder das Beispiel von oben.

Beispiel

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Zunächst betrachten wir die Durchschnittskosten für eine Produktion von 20.000 Fußbällen. Die Kosten für 1 Einheit Gummi betragen $q_1 = 0,5 €$ und für 1 Einheit Leder $q_2 = 0,75 €$. Die Fixkosten betragen 50.000 €. Es werden 1 Einheit Gummi und 2 Einheiten Leder für die Produktion eines Fußballes benötigt. die Kostenfunktion ergibt sich also zu:

$K(x) = 2x + 50.000 $

mit $x = 20.000$ ergeben sich also Gesamtkosten in Höhe von 90.000 €. Die Kosten pro Stück berechnen sich dann:

$k(x) = \frac{90.000 €}{20.000 Stk} = 4,5 €/Stk$.

Je mehr produziert wird, desto geringer sind die durchschnittlichen Kosten. Grund dafür ist die Verteilung der Fixkosten auf eine größere Menge (Fixkostendegression). Die durchschnittlichen Kosten können aber auch wieder ansteigen. Wenn zum Beispiel die Produktion an ihre Grenzen stößt und z.B. die Inputfaktoren bei einem neuen teureren Lieferanten bezogen werden müssen, weil der alte die geforderte Menge nicht produzieren kann. Dann steigen die variablen Kosten.

Es kann natürlich ebenfalls sein, dass die Produktion solcher Mengen das Unternehmen selbst an ihre Kapazitätsgrenze bringt. So muss zum Beispiel eine neue Lagerhalle, eine neue Maschine und/oder neue Mitarbeiter angeschafft werden, damit die Produktion überhaupt möglich ist. Dann steigen die fixen Kosten an.

Beispiel

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Angenommen das Unternehmen möchte nun 21.000 Fußbälle produzieren. Der Lederlieferant und auch der Gummilieferant können weiterhin zu den obigen Preisen liefern. Allerdings reicht die bisherige Lagerhalle nicht mehr aus. Es muss eine neue Lagerhalle gemietet werden. Die Fixkosten steigen um 10.000 € an:

$K(x) = 2x + 60.000 $

Die Gesamtkosten betragen:

$K(21.000) = 2 \cdot 21.000 + 60.000 = 102.000 €$.

Die Kosten pro Stück sind dann:

$k(21.000) = \frac{102.000}{21.000} = 4,86 €$.

Die durchschnittlichen Kosten sind gestiegen aufgrund der Erhöhung der Fixkosten durch die neue Lagerhalle. 

Beispiel

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Wieviel müsste das Unternehmen jetzt produzieren um wieder durchschnittliche Kosten von 4,5€/stk zu erreichen?

$k(x) = \frac{K(x)}{x}$

mit

$k(x) = 4,5 €$

Einsetzen ergibt:

$4,5€ = \frac{2x+60.000}{x}$

$4,5 € = 2 + \frac{60.000}{x}$                |$-2$

$2,5€ = \frac{60.000}{x}$                       |$\cdot x$

$2,5€ \cdot x = 60.000$                           | $: 2,5€$

$x = 24.000 Stk$

Das Unternehmen muss 24.000 Stück produzieren, damit die durchschnittlichen Kosten wieder bei 4,5 € liegen.

Warum Grenzerlös gleich Preis?

Sind Stückkosten gleich Grenzkosten?

Was sagt die Grenzkosten aus?

Sind Grenzkosten variable Kosten?