Potenzen mit gleicher Basis addieren und subtrahieren

TERME MIT POTENZEN
ADDIEREN UND SUBTRAHIEREN

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Erklärung

ADDIEREN UND SUBTRAHIEREN VON TERMEN MIT POTENZEN

Nur Potenzen mit gleicher Basis [a] und gleicher Hochzahl dürfen addiert oder subtrahiert werden.

Aber warum ist das so?

FLÄCHENINHALT EINES QUADRATS

Bei der Berechnung des Flächeninhalts eines Quadrats wird die Länge und Breite miteinander multipliziert.

Da die Länge und Breite beim Quadrat gleich lang sind, können beide mit der gleichen Variable definiert werden.

Durch die Multiplikation dieser beiden gleichen Faktoren entsteht die Potenz "Hoch 2".

VOLUMEN EINES WÜRFELS

Das Volumen eines Würfels wird berechnet, indem man die Länge, die Breite und die Höhe miteinander multipliziert.

Da die Länge, Breite und Höhe beim Wüfel gleich lang sind, können alle drei Größen mit der gleichen Variable definiert werden.

Durch die Multiplikation dieser drei gleichen Faktoren entsteht die Potenz "Hoch 3".

DIE VARIABLE "a"

Unser Quadrat und unser Würfel haben die gleichen Seitenlängen. Das ist auch der Grund warum wir als Basis für beide die Variable "a" verwenden.

  Definieren wir nun die Länge mit 4cm und setzen diesen Wert für unsere Variable "a" ein sieht die Rechnung aus, wie in der Abbildung.

UNTERSCHEIDUNG VOLUMEN UND FLÄCHE

Berechnen wir nun die Werte unserer Potenzen, sehen wir, dass das die Potenz "Hoch 3" einen deutlich höheren Wert ergibt, als die Potenz "Hoch 2".

UNTERSCHEIDUNG VOLUMEN UND FLÄCHE

Schließlich muss man sich das Volumen (Rauminhalt) des Würfels so vorstellen, als hätte man lauter Quadrate in den Würfel hinein geschlichtet.

Das Volumen eines Würfels und der Flächeninhalt eines Quadrats (Seitenfläche des Würfels) sind zwei Paar Schuhe und müssen getrennt betrachtet werden.

RECHENREGEL

Aus der Logik, dass man das Volumen eines Wüfels nicht nicht das gleiche ist wie die Fläche eine Quadrats, ergibt sich folgende Regel:

NUR POTENZEN MIT GLEICHER BASIS UND GLEICHER HOCHZAHL DÜRFEN ADDIERT ODER SUBTRAHIERT WERDEN.

UNSER ERGEBNIS

Als Ergebnis haben wir 2 MAL das VOLUMEN EINES WÜRFELS und 2 MAL die FLÄCHE eines QUADRATS.

Die "2" definiert die Anzahl unserer Potenzen. Zwischen "2" und "a" steht somit ein heimliches Malzeichen.

Die Addition von Potenzen sehen wir uns hier an. Du lernst mit einfachen Beispielen was man unter Basis und Exponent versteht. Den Umgang mit gleichen oder verschiedenen Basen und Exponenten zeige ich dir ebenfalls. Diese Mathematik-Inhalte liegen als Text und als Video vor.

Um die Addition von Potenzen zu verstehen, solltest du drei wichtige Begriffe kennen: Basis, Exponent und Potenzwert. Ein Beispiel:

Eine Potenz besteht aus Basis und dem Exponent. Wird die Potenz ausgerechnet, ist das Ergebnis der Potenzwert. Solltest du noch nicht wissen wie man eine solche Potenz berechnet, lernst du dies im Artikel Potenzen. Werfen wir nun einen Blick auf die Regeln zur Addition von Potenzen.

Potenzen addieren: Gleiche Basis und gleicher Exponent

Bei gleicher Basis und gleichem Exponenten können zwei Potenzen einfach addiert werden. Dazu werden die Koeffizienten (hier a und b) einfach addiert während der restliche Teil unverändert bleibt. Die allgemeine Schreibweise lautet:

Als Beispiel sollen zwei Potenzen addiert werden bei denen die Basis (x oder z) und der Exponent (2 oder 4) gleich sind.

Die Addition von Potenten funktioniert auch bei mehr als 2 Summanden. Im nächsten Beispiel liegen drei Summanden mit gleicher Basis (a) und gleichem Exponenten (2) vor. Auch hier können die Koeffizienten einfach addiert werden.

Bei gleicher Basis und gleichem Exponenten lässt sich sehr einfach eine Potenz addieren. Unterschiedliche Basen und Exponenten bringen jedoch Probleme in der Berechnung. Dies sehen wir uns gleich an.

Addition von Potenzen mit unterschiedlichen Exponenten

Die Addition von Potenzen mit unterschiedlichen Exponenten kann nicht mit einer allgemeinen Schreibweise dargestellt werden. Bei gleicher Basis aber unterschiedlichem Exponenten kann daher keine Gleichung für die Umformung angeben werden.

Die Addition von Potenzen mit gleicher Basis aber verschiedenen Exponenten kann in einigen Fällen dennoch durchgeführt werden. Dies ist möglich wenn keine Variablen, sondern ausschließlich Zahlen vorliegen.

Im nächsten Beispiel werden zwei Potenzen mit unterschiedlichem Exponenten addiert. Dazu wird jede Potenz einzeln ausgerechnet und im Anschluss werden die beiden Potenzwerte addiert.

Hinweis: In der Mathematik wird zuerst eine Potenz berechnet und erst im Anschluss Punkt vor Strich eingehalten. Aus diesem Grund wurden im letzten Beispiel erst die Potenzen 23 und 24 ausgerechnet und im Anschluss addiert.

Potenzen addieren mit unterschiedlicher Basis

Die Addition von Potenzen mit unterschiedlicher Basis kann nicht mit einer allgemeinen Schreibweise dargestellt werden. Bei ungleicher Basis aber gleichem Exponenten kann daher keine Gleichung für die Umformung angeben werden.

Die Addition von Potenzen mit ungleicher Basis aber gleichem Exponenten kann in einigen Fällen dennoch durchgeführt werden. Dies ist möglich wenn keine Variablen (Buchstaben), sondern ausschließlich Zahlen vorliegen.

Im nächsten Beispiel werden zwei Potenzen mit gleichem Exponenten addiert. Dazu wird jede Potenz einzeln ausgerechnet und im Anschluss werden die beiden Potenzwerte addiert.

Hinweis: Die Addition von Potenzen mit ungleicher Basis und ungleichem Exponenten kann auch nur durchgeführt werden, wenn ausschließlich Zahlen vorliegen um die Potenzen auszurechnen.

Potenzen mit negativen Zahlen

Für die Addition von Potenzen mit negativen Exponenten werden die Koeffizienten addiert. Am Rest der Potenz ändert sich hingegen nichts.

Alternativ kann eine Potenz mit negativem Exponenten in einen Bruch umgewandelt werden. Das Vorzeichen des Exponenten wird von negativ (-) auf positiv (+) vertauscht. Die x-2 im Zähler werden zu x2 im Nenner. Im Anschluss werden die Zähler addiert.

Sollten die Koeffizienten negativ sein kann ganz einfach addiert oder subtrahiert werden. Ein Beispiel:

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