Bei welcher temperatur sind energieniceoaus gleich besetzt

Das Bändermodell zur Beschreibung elektrischer Leitungsvorgänge hat seine Grundlagen in einer quantenmechanischen Beschreibung der energetischen Zustände fester Stoffe, in denen eine große Zahl von Atomen periodisch angeordnet sind. Es ist ein Modell für die Energiezustände von Elektronen in einem Festkörper und geeignet, die Leitfähigkeit unterschiedlicher Stoffe anschaulich zu beschreiben.
Die für die elektrische Leitung verantwortlichen freien Ladungen verhalten sich im Kristallgitter wie ein Elektronengas. Zwischen seinen Teilchen existiert eine Wechselwirkung, die klassisch durch die elektrostatischen Kräfte verstanden werden kann. Quantenmechanisch beansprucht jedes Elektron wegen der Gültigkeit der Unschärferelation ein eigenes Impulsintervall bestimmter Größe. Im Beitrag wird eine vereinfachte Darstellung des Bändermodells für Leiter, Halbleiter und Nichtleiter gegeben.

Hauptquantenzahl n = 1, 2, 3, ....., 7
(K, L, M, N,...Energieniveaus)
bestimmt Abstand vom Kern

L= Nebenquantenzahl
= 0, 1, 2, 3, ... mit l ≤ n-1
(andere Bezeichnung: s, p, d, f,...)
bestimmt die Gestalt des Orbitals

m = magnetische Quantenzahl
2l + 1 mögliche Zustände
bestimmt die Orientierung des Orbitals im Raum
s-Zustand (l=0) m = 0
p-Zustand (l=1) m = -1, 0, +1
d-Zustand (l=2) m = -2, -1, 0, +1, +2
f-Zustand (l=3) m = -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3

ms = Spinquantenzahl ms kann nur die Werte +1/2 bzw. -1/2 annehmen
entspricht anschaulich der Eigendrehung des Elektrons
pro Orbital: maximal 2 Elektronen mit

Wichtige Inhalte in diesem Video

Mit der Fermi Energie kannst du die höchste Energie eines Teilchens in einem System von Fermionen bei einer Temperatur von null Kelvin (

) berechnen. In diesem Artikel erklären wir dir, was die Fermi Energie genau beschreibt und wie du sie berechnen und herleiten kannst. Darüber hinaus erfährst du, wie du mit ihr Materialien, insbesondere Metalle, Halbleiter und Isolatoren, charakterisieren kannst und was bei Temperaturen höher als 0 Kelvin passiert. Am Ende des Artikels werden wir uns auch ein konkretes Beispiel ansehen, indem wir die Fermi Energie explizit für  Kupfer berechnen.

Du möchtest ein wenig relaxen, dich zurücklehnen und trotzdem alles Wichtige zur Fermi Energie erfahren, was du wissen musst? Dann schau ganz entspannt unser Video  dazu an!

• Fermi Energie einfach erklärt
• Fermi Energie Formel
• Fermi Energie Herleitung
• Fermi Energie Halbleiter, Isolator, Metall
• Fermi Kante bei höheren Temperaturen
• Fermi Energie berechnen Beispiel

Fermi Energie einfach erklärt

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(00:12)

Die Fermi Energie gibt die Energie des höchsten besetzten Energieniveaus im Grundzustand eines Systems aus Fermionen an.

Merke

Also die höchste Energie, die ein Fermion, wie zum Beispiel ein Elektron im Grundzustand, haben kann.

Betrachtest du den absoluten Nullpunkt (0 Kelvin), dann sind alle Energieniveaus bis zur Fermi Energie voll besetzt und die höheren Energieniveaus sind unbesetzt. Dabei ist ein System im Grundzustand, wenn es sich im Zustand geringstmöglicher Energie befindet.

Fermi Energie Formel

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(00:30)

Die Fermi Energie lässt sich für ein Gas aus nicht-wechselwirkenden Fermionen berechnen mit der Formel

Dabei repräsentiert

das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum, die Masse des Fermions und den Fermi-Wellenvektor

Die Teilchendichte

ist hierbei der Quotient aus der Teilchenzahl und dem Volumen . Unter Verwendung der Fermi Energie kann man auch die Fermi-Geschwindigkeit einfach berechnen mit

Die Fermi-Geschwindigkeit

ist dabei die Geschwindigkeit eines Fermions, bei welchem die kinetische Energie gleich der Fermi Energie entspricht

Mit dem Fermi-Wellenvektor lässt sich auch die sogenannte Fermi-Wellenlänge

ausdrücken

Fermionen, wie zum Beispiel Elektronen, breiten sich sowohl als Welle wie auch als Teilchen aus. Die Fermi-Wellenlänge ist dabei die Wellenlänge der Elektronen, welche sie bei der Fermi-Energie besitzen. Außerdem lässt sich aus der Fermi-Energie auch die sogenannte Fermi-Temperatur

berechnen

wobei

die Boltzmann-Konstante bezeichnet.

Fermi Energie Herleitung

In diesem Abschnitt werden wir die Formel für die Fermi Energie herleiten. Dabei gehen wir von einem quadratischen Potentialkasten mit dem Volumen

aus. Zusätzlich werden die Fermionen als nicht-wechelwirkende Teilchen genähert und das System befinde sich im Grundzustand bei einer Temperatur von 0 Kelvin. Da man von einem unendlichen, periodischen Potential ausgeht, gilt für die Wellenfunktion

Durch lösen der stationäre Schrödingergleichung mit der Bloch-Funktion erhält man dann als Bedingung für den Wellenzahlvektor

(1)               

          mit .

Aus der Teilchenphysik ist außerdem die folgende Beziehung zwischen der Frequenz und der Energie bekannt

Zusätzlich weiß man auch, dass die Wellenzahl

proportional zum Impuls ist

Verwendet man diese Beziehungen, so erhält man für die kinetische Energie folgende Formel

Setzt man in diese Formel für den Wellenvektor

den Fermi-Wellenvektor ein, dann resultiert daraus die Fermi Energie

(2)      

Alle Energieniveaus sind im Grundzustand dann bis zu dieser Fermi-Energie mit jeweils zwei Spins besetzt. Diese besetzten Zustände befinden sich dabei in der Fermi-Kugel mit dem Volumen

Das Volumen

, welches genau einen Zustand enthält, hat dabei im reziproken Raum ein Volumen von

Teilt man nun das Volumen der Fermi-Kugel durch das Volumen

, dann erhält man daraus die Anzahl der Elektronen im Potentialkasten

Der Faktor 2 kommt daher, da jeder Zustand zwei Elektronen aufnehmen kann. Hiermit lässt sich nun einfach die Elektronendichte

bestimmen

Formt man diese Gleichung nach

um

und setzt dies in die Formel (2) ein, dann kann man die Fermi Energie auch mit der Teilchendichte

ausdrücken

Fermi Energie Halbleiter, Isolator, Metall

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(01:05)

Mit der Fermi Energie kann man nun erklären, weshalb manche Materialien leitend sind und manche nicht. Befindet sich die Fermi Energie in der Bandlücke zwischen dem vollbesetzten Valenzband und dem leeren Leitungsband so können durch, zum Beispiel (genügend starke) thermische Anregung, Elektronen in das Leitungsband gelangen. Damit wird das Material leitend und man spricht in diesem Fall von einem Halbleiter. Ist die Bandlücke jedoch zu groß, sodass die Elektronen diese durch Anregung nicht überbrücken können, dann ist das Material nicht leitend und man spricht von einem Isolator. Bei einem Metall handelt es sich um ein leitendes Material, da sich die Fermi Energie im Leitungsband befindet und somit das Leitungsband teilweise besetzt ist. Und teilweise besetzte Bänder sind gerade die Voraussetzung, dass ein Material leitend ist.

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Fermi Energie Halbleiter, Isolator und Metall

Fermi Kante bei höheren Temperaturen

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(02:09)

Die Zustände sind bei einer Temperatur von 0 Kelvin gerade bis zum Fermi Niveau besetzt. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von einer Fermi-Kante, da die Fermi-Verteilung

für eine Kante aufweist. Die Fermi-Verteilung gibt dabei die Wahrscheinlichkeit an mit welcher ein Zustand mit der Energie bei einer bestimmten Temperatur

besetzt ist

Hierbei ist

das chemische Potential und für gilt . Bis zur Energie der Fermi-Kante sind also alle Zustände besetzt und die Zustände höherer Energie sind alle unbesetzt. Wird die Temperatur ausgehend von 0 Kelvin erhöht, so weicht die Fermi-Kante immer mehr auf und es werden auch Zustände über dem Fermi Niveau besetzt. Dies ist in der folgenden Abbildung gut zu erkennen.

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Fermi Energie Temperaturverteilung

Dabei muss jedoch gelten, dass die thermische Energie

viel kleiner ist als die Fermi Energie

Fermi Energie berechnen Beispiel

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(03:39)

Mit der oben genannten Formel lässt sich nun einfach die Fermi Energie verschiedener Elemente berechnen, wie zum Beispiel die Fermi Energie Natrium oder die Fermi Energie Kupfer. Hier wollen wir als Beispiel die Fermi Energie Kupfer berechnen. Die freien Elektronen in Kupfer haben bei

eine Dichte von , die Masse von Elektronen ist gegeben durch und das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum mit . Damit erhält man die Fermi Energie Kupfer