Formeln zur Berechnung
Schauen wir uns ein paar Formeln zu Berechnungen an einem Drachenviereck an:
Methode
Methode
Hier klicken zum Ausklappen
Flächeninhalt:
$A = \frac {1}{2} h \cdot c$
Umfang:
$U = 2 \cdot (a+b)$
Die Bedeutung der Abkürzungen $h, c, a $ und $b$ ist hier dargestellt:
Abbildung: Drache mit Bezeichnungen
Herleitung der Formeln
Hier schauen wir uns an, wie die Formeln zur Berechnung erklärt werden können.
Flächeninhalt
Betrachten wir folgendes Bild:
Abbildung: Flächeninhalt Drache
Der Flächeninhalt von einem Drachenvieleck ist die Höhe (also die Länge der einen Diagonale) mal der Breite (die Länge der anderen Diagonale) geteilt durch zwei. In der Abbildung können wir erkennen, dass der Flächeninhalt von dem Drachenviereck in die Hälfte des Rechtecks hineinpasst. So kannst du dir die Formel ganz einfach merken.
Umfang:
Es ist klar, dass alle Seitenlängen einfach addiert werden müssen. Da die Längen zweimal vorkommen, ergibt sich:
$U = 2\cdot (a+b)$
Beispielaufgabe
Schauen wir uns eine Beispielaufgabe an:
Beispiel
Beispiel
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Berechne den Flächeninhalt und den Umfang dieses Drachenvierecks:
Abbildung: Drache mit Längenangaben
Den Umfang berechnen wir, indem wir die Längen der Seiten zusammenrechnen:
$U = 2 \cdot (20 cm + 34 cm) = 108 cm$
Den Flächeninhalt erhalten wir, indem wir die Höhe mal die Breite rechnen und durch zwei teilen.
$A = \frac{1}{2} *42 cm \cdot 32 cm = 672 cm^2$
Mit den Übungsaufgaben kannst du dich testen. Viel Erfolg dabei!
Keine Rechnungen weil die habe ich schon. Nur etwas was dagegen spricht.
Genau dene Rechnungen sollten dagegen sprechen.
Wie lauten deine Rechnungen?
PS:
Ich sehe gerade, dass du das erforderliche Gegenbeispiel schon erhalten hast. Was ist noch unklar?
Beantwortet 16 Mär 2021 von abakus 41 k
Danke für die Antwort meine Rechnungen sehen so aus:
1 Rechteck:
a=5, b=7
u=2•5+2•7=24
A=5•7=35
2 Rechteck:
a=4, b=8
u=2•4+2•8=24
A=4•8=32
Wie gesagt jetzt soll ich das mit Worten begründen warum die Aussage falsch ist.
Grüße
Lernpfad
Zielsetzung: Schüler entdecken Schritt für Schritt die Formel des Flächeninhalts und lernen damit zu rechnen.
Altersstufe: 5. Jahrgangsstufe am Gymnasium
Zeitbedarf: ca. 70 Minuten
Materialen: Computer (mit Java und GeoGebra) und Heft.
Arbeitsaufträge
Kästchen zählen
Ihr kennt bereits die verschiedenen geometrischen Figuren.
Heute wollen wir uns mit dem Flächeninhalt von geometrischen Figuren beschäftigen.
Betrachtet dazu die Zeichnungen und ermittelt, aus wie vielen Kästchen die Rechtecke bestehen.
Für diese Aufgabe habt ihr 3 Minuten Zeit!
1. Rechteck
Hast du richtig gezählt?
2. Rechteck
Hast du richtig gezählt?
3. Rechteck
Hast du richtig gezählt?
Vorsicht: Hier müsst ihr auch die halben Kästchen zählen!!!
Zeichnen
Zeichnet ein Rechteck in eurem Heft mit Flächeninhalt 16 Kästchen.
Ihr seht im nächsten Bild 3 verschiedene Rechtecke abgebildet:
Für diese Aufgabe habt ihr 5 Minuten Zeit!
Wie ihr leicht sehen könnt, besteht das Rechteck R1 aus 6 Kästchen. Gleichzeitig sind die
Seitenlängen des Rechtecks a = c = 3cm und b = d = 2cm.
Das Rechteck R2 besteht aus 2 Kästchen. Wie sind denn hier die Seitenlängen?
Das Rechteck R3 besteht aus 12 Kästchen. Könnt ihr auch hier die Seitenlängen angeben?
Was fällt euch dabei auf?
Arbeit im Heft
Übertragt die Rechtecke auf vorherigen Aufgabe in euer Heft. Schreibt dabei unter jedes Rechteck die Seitenlängen und den Flächeninhalt.
Aus unseren Beobachtungen sehen wir, dass die Anzahl der Kästchen eines Rechtecks
immer gleich des Produkts der beiden Seitenlängen ist.
Für diese Aufgabe habt ihr 10 Minuten Zeit!
Wir notieren:
Im Rechteck R1 haben wir die Seitenlängen a = 2 und b = 3 und der Flächeninhalt beträgt 2 x 3 = 6Im Rechteck R2 haben wir die Seitenlängen e = 2 und f = 1 und der Flächeninhalt beträgt 2 x 1 = 2Im Rechteck R3 haben wir die Seitenlängen i = 4 und j = 3 und der Flächeninhalt beträgt 4 x 3 = 12Daher übertragen wir noch folgenden Satz in unserer Heft
Satz
Flächeninhalt des Rechtecks
- Die Fläche eines Rechtecks ergibt sich aus dem Produkt der Seitenlängen.
- Es gilt also:
Das F steht hier für Flächeninhalt!!!
Ein anschauliches Beispiel
Zum Schluss könnt ihr nun noch beobachten, wie sich der Flächeninhalt eines Rechtecks ändert, wenn man die Seitenlängen verändert. Wenn ihr die Punkte der Schieberegler e und f nach links und rechts bewegt, ändert sich auch der Flächeninhalt des Rechtecks.
Andere geometrische Figuren
Wie könnte man den Flächeninhalt von diesen Figuren berechnen ohne die Kästchen zu zählen?
Für diese Aufgabe habt ihr 8 Minuten Zeit!
Maßeinheiten
Bisher haben wir uns nur mit der Angabe des Flächeninhalt durch Kästchen beschäftigt.
Nun wollen wir uns mit den Maßeinheiten bei Flächenberechnung beschäftigen.
Dazu wollen wir aber erst einmal die Maßeinheiten der Streckenmessung wiederholen.
Nehmt euch zum Durchlesen der Wiederholung und des Abschnitts "Maßeinheiten beim Flächeninhalt des Rechtecks" 8 Minuten Zeit!
Wiederholung
Ihr kennt bereits:
Millimeter | mm | ||
Zentimeter | cm | 1 cm = 10 mm | |
Dezimter: dm | dm | 1 dm = 10 cm = 100 mm | |
Meter | m | 1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm | |
Kilometer | km | 1 km = 1000 m = 10000 dm = 100000 cm = 1000000 mm |
Maßeinheiten beim Flächeninhalt des Rechtecks
Betrachten wir nur eine Fläche, zum Beispiel unser lilafarbenes Rechteck von oben.
Die Seite a ist 2 cm lang (ebenso die Seite c) Die Seite b ist 4 cm lang (ebenso die Seite d)
Aus unserer Formel wissen wir, dass hier gilt F = 2 x 4 = 8. Aber welche Einheit ordnen wir nun unserem Rechteck zu?
Die Seiten a und b (bzw. c und d) können wir in cm angeben. Aber das Ergebnis, eine Fläche, lässt sich nicht durch cm ausdrücken, da eine Fläche nicht gleich einer Strecke ist!!!
Verdeutlichen wir uns
das anhand einer Zeichnung.
Hier seht ihr eine Strecke der Länge 8 cm und ein Rechteck mit Flächeninhalt 8 __ .
An diesem Beispiel könnt ihr erkennen dass die Steckeneinheit "cm" nicht zu der Fläche des Rechtecks passt. Schließlich multiplizieren wir bei einer Fläche ja eine Seitenlänge mit der anderen und rechnen somit auch mm x mm, bzw. cm x cm oder dm x dm ... Daher brauchen wir für die Fläche die Maßeinheiten wie mm², sprich Quadratmillimeter, da wir mm mit mm multiplizieren.
Man kann nur Seitenlängen mit gleicher Einheit miteinander muliplizieren!!!
Es funktioniert also 5cm x 7cm = 35 cm² zu rechnen. Will man hingegen 4cm x 25 mm berechnen, so muss man eine der beiden Einheiten umwandeln.
Es bieten sich hier also folgende 2 Möglichkeiten an: 4cm x 25mm = 40mm x 25mm = 1000mm² oder 4cm x 2,5cm = 10cm²
Die Umrechnungsgrößen sind nicht die gleichen wie bei Streckenlängen!!!
Am obigen Beispiel seht ihr sehr gut, dass das Ergebnis des Produkts der Seitenlängen 4cm und 25mm gleich 1000mm² bzw. 10cm² ist. Die Tabelle oben zeigt, dass 1cm = 10mm ist. Somit ist 1cm² = 1 (cm x cm) = 1x (10mm x 10mm) = 100mm². Ebenso gilt für beispielsweise 2dm² = 2 x (dm x dm) = 2 x (10cm x 10cm) = 2 x (100cm²) = 200 cm² und hierfür gilt wiederum: 200 cm² = 200 x (cm x cm) = 200 x (10mm x 10mm) = 200 x (100mm²) = 20000mm²
Verdeutlichen wir und dies nochmal anhand einer Tabelle:
Quadratmillimeter | mm x mm = mm² | 1mm² | |
Zentimeter | cm x cm = cm² | 1cm² = 100mm² | |
Dezimter: dm | dm x dm = dm² | 1dm² = 100cm² = 10000mm² | |
Meter | m x m = m² | 1m² = 100dm² = 10000cm² = 1000000mm² | |
Kilometer | km x km = km² | 1km² = 1000000m² = 100000000dm² = 10000000000cm² = 1000000000000mm² |
Aufgaben
Für diese drei Aufgaben habt ihr 10 Minuten Zeit!
1. Aufgabe
Verwandle in die in Klammern angegebene Einheit.
a) 8 dm² ( cm² )
b) 27 m² ( dm² )
c) 43 km² ( m² )
d) 18 cm² ( mm² )
2. Aufgabe
Drücke in der in Klammern angegebenen Einheit aus.
a) 3800 cm² ( dm² )
b) 5900 dm² ( m² )
c) 470000 m² ( km² )
d) 25 km² ( cm² )
3. Aufgabe
Berechne jeweils den Flächeninhalt der Rechtecke in einer geeigneten Einheit.
a) b = 5 cm, c = 70 dm
b) a = 1200 mm, b = 9 dm
c) c = 5 km, d = 3000 m
d) a = 50 cm, d = 200 mm
e) a = 1200 dm, b = 15 m (Gib hier den Flächeninhalt in cm² an.)
f) b = 5 m, c= 200 cm (Gib hier den Flächeninhalt in dm² an.)
Weitere Arbeitsaufträge
Anwendungsaufgabe Kinderzimmer
Nora und Paul besichtigen die neue Wohnung, in die sie umziehen wollen.
Paul misst die beiden Kinderzimmer aus: Das erste ist 5 m lang und 4 m breit, das zweite 6 m lang und 3 m breit.
Nora sagt: "Beide Zimmer sind gleich groß, denn 5 plus 4 ist 9 und 6 plus 3 ist auch 9."
Was meinst du? Fertigt für eure Lösung im Heft eine Skizze an.
Für diese Aufgabe habt ihr 10 Minuten Zeit!
Check dein Wissen
Für diese drei Aufgaben habt ihr 5 Minuten Zeit!
Vorsicht: Ab Frage 7 auch auf Einheiten achten!
Für die ganz Schnellen bzw. für zu Hause
Autoren: Franziska Engerer, Lisa Henkelmann, Katharina Hesse