Asymptotisch gleich gegen 1

Die Definitionen klingen sehr ähnlich, sind aber nicht gleichwertig. Meine Frage wäre, wo genau die Unterschiede liegen:

Asymptote:

Der Graph einer (linearen) Funktion g heißt genau dann Asymptote einer Funktion f für , wenn

Asymptotische Gleichheit:

Zwei Funktionen f und g heißen genau dann asymptotisch gleich, wenn

Mir geht es rein um die Grenzwerte: Ich weiß, dass nicht gilt:

Aber wo genau liegt z. B. geometrisch der Unterschied? Der erste Fall bedeutet, dass die Funktionswerte einander beliebig nahe kommen. Und beim zweiten? Ist das eine noch stärkere Annäherung? Denn z. B. die Funktionen f(x) = 1/x und g(x) = 2/x sind im Sinne der ersten Definition durchaus „asymptotisch“, im Sinne der zweiten aber nicht. Andererseits gibt es laut dem Forster auch Fälle, bei denen die Quotientenfunktion zwar gegen 1 konvergiert, die Differenzenfunktion aber divergiert. Das spricht wiederum gegen diese Auffassung...

Aber bei gewissen Forderungen werden sie abhängig voneinander.

Wenn f gegen einen von 0 verschiedenen Grenzwert konvergiert, sind die beiden Eigenschaften äquivalent.

Wenn f gegen 0 konvergiert, folgt aus asymptotischer Gleichheit, dass g Asymptote von f ist.

Wenn f bestimmt gegen unendlich divergiert, folgt daraus, dass g Asymptote von f ist, dass die beiden Funktionen auch asymptotisch gleich sind.

Wie meinst Du aber folgenden Satz?:

Wenn f bestimmt gegen unendlich divergiert, so folgt daraus: Wenn g Asymptote ist, dann sind die beiden Funktionen asymptotisch gleich?

Oder umgekehrt?

Ansonsten: Kann man die asymptotische Gleichheit irgendwie geometrisch veranschaulichen? Mir fehlt noch die Vorstellung davon, was es bedeutet, wenn die Verhältnisse der Funktionswerte gegen 1 streben. Bei der Asymptote wird ja einfach der Abstand beliebig klein.

Also mir fällt jetzt nichts ein, wie man das geometrisch veranschaulichen könnte.

.. grün

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Rot: Differenz; Grün: Quotient

mY+

Zwei Folgen heißen doch asymptotisch gleich, wenn ihr Quotient gegen 1 strebt. Meine Frage ist, unter welchen Umständen das gleichbedeutend damit ist, dass die Grenzwerte der Folgen übereinstimmen.

Wenn die Grenzwerte der Folgen im eigentlichen Sinne existieren ist die Sache aufgrund der Grenzwertsätze ziemlich klar:

Aber wie ist das, wenn die einzelnen Folgen nur bestimmt divergerieren(+-unendlich) ?

Gruß

Rishi

Du hast dabei den Fall vergessen auszunehmen, da tuts das nicht, bei bestimmt divergenten Folgen natürlich auch nicht.