Hi,
also eine lineare Funktion wär ja z.B. f(x) = ax + b
und die 1. Ableitung f'(x) = a
aber ist die 2. Ableitung dann f''(x) = 0 oder f''(x) = 1 ? Und wieso? ó.o Kann mir das irgendwer erklären?5 Antworten
Anschaulich: Die Ableitung gibt die Steigung des Graphen im jeweiligen Punkt an. Die Funktion f '(x) = a hat an jeder Stelle denselben Funktionswert, also steigt sie einfach gar nicht an. Damit muss die Ableitung davon 0 sein => f ''(x) = 0. Die formale "Begründung" ist, dass Konstanten beim Ableiten wegfallen, also zu 0 werden.
Die Ableitung gibt die Steigung der Basisfunktion an. Hast du f(x) = a mit a=2 (oder irgendeiner anderen Zahl) und du zeichnest die Funktion dann hast du eine horizontale Linie bei f(x) = 2 Die Steigung der Horizontalen Linie ist natürlich Null. Das siehst du auch rechnerisch mit der Ableitung die dann auch Null ist.
Wie auch bei der ersten Ableitung b weggefallen ist, so fällt auch a in der zweiten Ableitung weg. Also f"(x)=0
Die Ableitung ist 1 weil vor dem x ja unsichtbar eine 1 steht. die 3. Ableitung wäre dann 0.
f " = 0 weil a ne Konstante ist,
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Lineare Funktionen haben die Funktionsgleichung f(x) gleich m mal x plus t mit konstanten Werten für m und t. Der Faktor m gibt bekanntlich die Steigung der Geraden an. Und hier haben wir schon das Besondere. Die lineare Funktion hat für alle Punkte nur eine gleichbleibende Steigung. Das wollen wir über die Sekantensteigungsfunktion theoretisch nachweisen. Wir haben jetzt kein Tangentenproblem, sondern ein Sekantenproblem.
Sekante
Unter einer Sekante versteht man eine Gerade, die durch mindestens zwei verschiedene Punkte einer Kurve oder eines Funktionsgraphen geht.
Verschiedene Geraden und ihre Schnittpunkte
Die Tangente an die Gerade g muss also die Gerade sein, welche unendlich viele gemeinsame Punkte mit g hat. Somit muss es auch möglich sein, die Steigung der Geraden über die Tangentensteigungsfunktion zu bestimmen. Beginnen wir mit der Sekantensteigung.
Die Sekantensteigung
Formel zur Berechnung der Sekantensteigung (Klicken Sie bitte auf die Lupe)
Wir wählen die einfachste lineare Funktion f(x) = x. Die Sekantensteigung ms berechnen wir nach nebenstehender Formel. Nach Umformen und Kürzen ergibt sich ms = 1.
Die Tangentensteigung
Berechnung der Tangentensteigung: Klicken Sie bitte auf die Lupe.
Wir wissen auch noch, dass die Tangentensteigung der Grenzwert der Sekantensteigungsfunktion ist. Die Tangentensteigung mt ist Limes h gegen null von ms. (Klicken Sie bitte auf nebenstehende Abbildung.) Unser ermitteltes ms eingesetzt, erhalten wir mt gleich Limes h gegen null von 1. Da der Term 1 von h unabhängig ist, ist auch der Limes dieser konstanten Zahl gleich 1. Die Steigung der Tangente ist gleich 1.
Dieses Ergebnis ist für uns nicht verwunderlich, da die Tangente einer linearen Funktion der linearen Funktion selbst entspricht. Das bedeutet dann, dass die Ableitungsfunktion jeder linearen Funktion die konstante Funktion f'(x) = m ist.