2² + 2³
Basiswissen
2² + 2³ kann man nicht weiter vereinfachen, außer man rechnet die beiden Potenzen erst aus. Das gäbe hier im Beispiel 4+8, also letztendich 12. Daneben gibt es keine Regel, die immer funktioniert, abgesehen von einem Sonderfall. Das ist hier kurz erklärt.Begriffe
◦ 2³ als ganzes ist eine =>
Potenz
◦ Die Zahl unten heißt =>
Basis
◦ Die Zahl oben => ExponentKeine allgemeine Regel
◦
Angenommen man hat zwei Potenzen mit gleicher Basis.
◦ Sie sollen addiert werden. Beispiel: 2² + 2³.
◦ Dafür gibt es keine Vereinfachungsregel.
◦ Man kann nur beide Potenzen für sich ausrechnen.
◦ Dann addiert man die Teilergebnisse zusammen:
◦ 2² + 2³ wäre dann also 4+8 und gibt 12.Sonderfall
◦ Falls die Basen und die Exponenten gleich sind ...
◦ dann kann man die zwei Potenzen zu einer zusammenfassen:
◦ 4³+4³ meint: man hat zwei mal die 4³, also:
4³+4³=2·4³
◦ Mehr unter => gleiche Potenzen addieren
Rechenregeln für Potenzen
Potenzrechnung geht vor Punktrechnung geht vor Strichrechnung
- \({0^0}...{\text{nicht definiert}}\)
- \({0^{ - n}}...{\text{nicht definiert}}\)
- \({0^n} = 0\)
- \({a^0} = 1\)
- \({a^1} = a\)
- \(n \in {{\Bbb N}_u}:\,\,\,{\left( { - a} \right)^n} = - {a^{n}}\)
- \(n \in {{\Bbb N}_g}:\,\,\,{\left( { - a} \right)^n} = {a^{n}}\)
- \({a^{ - n}} = \dfrac{1}{{{a^n}}}\)
Potenzen addieren bzw. subtrahieren, wenn die Basen und die Exponenten überein stimmen
Zwei Potenzen haben den selben Wert, wenn sie in Basis und Exponent übereinstimmen. Man kann in diesem Fall beim Addieren bzw. Subtrahieren die Potenz "herausheben".
\(\eqalign{ & x \cdot {a^b} + y \cdot {a^b} = (x + y) \cdot {a^b} \cr & x \cdot {a^b} - y \cdot {a^b} = (x - y) \cdot {a^b} \cr}\)
Potenzen multiplizieren bzw. dividieren, wenn die Basen übereinstimmen
Potenzen gleicher Basis werden multipliziert, indem man ihre Exponenten addiert. Bei der Division werden die beiden Exponenten subtrahiert.
\(\eqalign{ & {a^r} \cdot {a^s} = {a^{r + s}} \cr & {a^r}:{a^s} = \dfrac{{{a^r}}}{{{a^{}}}} = {a^{r - s}} \cr}\)
Potenzen multiplizieren bzw. dividieren, wenn die Exponenten übereinstimmen
Potenzen mit unterschiedlicher Basis aber übereinstimmenden Exponenten werden multipliziert bzw. dividiert indem man das Produkt bzw. den Quotient der Basen bildet und den Exponenten unverändert übernimmt
\(\eqalign{ & {a^r} \cdot {b^r} = {(a \cdot b)^r} \cr & {a^r}:{b^r} = {\left( {\dfrac{a}{b}} \right)^r} = {a^r} \cdot {b^{ - r}} \cr}\)
Potenzen potenzieren bzw. radizieren
Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert. Man zieht die Wurzel aus Potenzen, indem man den Exponenten der Potenz durch den Wurzelexponenten dividiert wobei die Basis unverändert bleibt.
\(\eqalign{ & {\left( {{a^r}} \right)^s} = {a^{r \cdot s}} = {\left( {{a^s}} \right)^r} \cr & \root s \of {{a^r}} = {a^{\dfrac{r}{s}}} \cr}\)
Die Addition von Potenzen sehen wir uns hier an. Du lernst mit einfachen Beispielen was man unter Basis und Exponent versteht. Den Umgang mit gleichen oder verschiedenen Basen und Exponenten zeige ich dir ebenfalls. Diese Mathematik-Inhalte liegen als Text und als Video vor.
Um die Addition von Potenzen zu verstehen, solltest du drei wichtige Begriffe kennen: Basis, Exponent und Potenzwert. Ein Beispiel:
Eine Potenz besteht aus Basis und dem Exponent. Wird die Potenz ausgerechnet, ist das Ergebnis der Potenzwert. Solltest du noch nicht wissen wie man eine solche Potenz berechnet, lernst du dies im Artikel Potenzen. Werfen wir nun einen Blick auf die Regeln zur Addition von Potenzen.
Potenzen addieren: Gleiche Basis und gleicher Exponent
Bei gleicher Basis und gleichem Exponenten können zwei Potenzen einfach addiert werden. Dazu werden die Koeffizienten (hier a und b) einfach addiert während der restliche Teil unverändert bleibt. Die allgemeine Schreibweise lautet:
Als Beispiel sollen zwei Potenzen addiert werden bei denen die Basis (x oder z) und der Exponent (2 oder 4) gleich sind.
Die Addition von Potenten funktioniert auch bei mehr als 2 Summanden. Im nächsten Beispiel liegen drei Summanden mit gleicher Basis (a) und gleichem Exponenten (2) vor. Auch hier können die Koeffizienten einfach addiert werden.
Bei gleicher Basis und gleichem Exponenten lässt sich sehr einfach eine Potenz addieren. Unterschiedliche Basen und Exponenten bringen jedoch Probleme in der Berechnung. Dies sehen wir uns gleich an.
Addition von Potenzen mit unterschiedlichen Exponenten
Die Addition von Potenzen mit unterschiedlichen Exponenten kann nicht mit einer allgemeinen Schreibweise dargestellt werden. Bei gleicher Basis aber unterschiedlichem Exponenten kann daher keine Gleichung für die Umformung angeben werden.
Die Addition von Potenzen mit gleicher Basis aber verschiedenen Exponenten kann in einigen Fällen dennoch durchgeführt werden. Dies ist möglich wenn keine Variablen, sondern ausschließlich Zahlen vorliegen.
Im nächsten Beispiel werden zwei Potenzen mit unterschiedlichem Exponenten addiert. Dazu wird jede Potenz einzeln ausgerechnet und im Anschluss werden die beiden Potenzwerte addiert.
Hinweis: In der Mathematik wird zuerst eine Potenz berechnet und erst im Anschluss Punkt vor Strich eingehalten. Aus diesem Grund wurden im letzten Beispiel erst die Potenzen 23 und 24 ausgerechnet und im Anschluss addiert.
Potenzen addieren mit unterschiedlicher Basis
Die Addition von Potenzen mit unterschiedlicher Basis kann nicht mit einer allgemeinen Schreibweise dargestellt werden. Bei ungleicher Basis aber gleichem Exponenten kann daher keine Gleichung für die Umformung angeben werden.
Die Addition von Potenzen mit ungleicher Basis aber gleichem Exponenten kann in einigen Fällen dennoch durchgeführt werden. Dies ist möglich wenn keine Variablen (Buchstaben), sondern ausschließlich Zahlen vorliegen.
Im nächsten Beispiel werden zwei Potenzen mit gleichem Exponenten addiert. Dazu wird jede Potenz einzeln ausgerechnet und im Anschluss werden die beiden Potenzwerte addiert.
Hinweis: Die Addition von Potenzen mit ungleicher Basis und ungleichem Exponenten kann auch nur durchgeführt werden, wenn ausschließlich Zahlen vorliegen um die Potenzen auszurechnen.
Potenzen mit negativen Zahlen
Für die Addition von Potenzen mit negativen Exponenten werden die Koeffizienten addiert. Am Rest der Potenz ändert sich hingegen nichts.
Alternativ kann eine Potenz mit negativem Exponenten in einen Bruch umgewandelt werden. Das Vorzeichen des Exponenten wird von negativ (-) auf positiv (+) vertauscht. Die x-2 im Zähler werden zu x2 im Nenner. Im Anschluss werden die Zähler addiert.
Sollten die Koeffizienten negativ sein kann ganz einfach addiert oder subtrahiert werden. Ein Beispiel:
Weitere Inhalte:
- Potenzen subtrahieren
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