Wann ist ein experiment gleich wahrscheinlich

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Auf dieser Seite erklären wir dir alles zum Thema Wahrscheinlichkeitsrechnung. Dabei gehen wir auf folgenden Unternehmen ein:

• LaPlace Wahrscheinlichkeit
• Baumdiagramme
• Beispielaufgaben

Zu Beginn wollen wir uns die sogenannte LaPlace-Wahrscheinlichkeit angucken. Bei einem LaPlace-Experiment sind alle möglichen Ereignisse gleich wahrscheinlich. Ein typisches LaPlace-Experiment ist zum Beispiel der Münzwurf.

Beim Münzwurf gibt es zwei mögliche Ereignisse, entweder Kopf oder Zahl. Beide Ereignisse sind gleich wahrscheinlich, denn die Wahrscheinlichkeit, dass die Kopfseite nach oben zeigt beträgt $P(K)=0,5$. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahlseite nach oben zeigt beträgt ebenfalls $P(Z)=0,5$. Grundsätzlich berechnen wir die Wahrscheinlichkeit bei einem LaPlace-Experiment mit der folgenden Formel:

\[P\left(E\right)=\frac{\mathrm{Anzahl\ der\ guenstigen\ Ereignisse}}{\mathrm{Anzahl\ der\ moeglichen\ Ereignisse}}\]

Ein weiteres typisches LaPlace-Experiment ist das Werfen eines gewöhnlichen Würfels. Hierbei beträgt die Wahrscheinlichkeit für jede der sechs Zahlen auf dem Würfel $\frac{1}{6}$.

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Baumdiagramme (mit und ohne Zurücklegen)

Baumdiagramme sind ein einfaches und sehr übersichtliches Mittel, mit deren Hilfe Zufallsversuche dargestellt werden können. Das wohl klassischste Beispiel, welches mit einem Baumdiagramm dargestellt werden kann, ist der Urnenversuch. Wir wollen uns einen solchen Urnenversuch einmal genau angucken.

Dazu nehmen wir an, dass sich in unserer Urne 2 schwarze und 3 weiße Kugeln befinden. Wir möchten gerne hintereinander zwei Kugeln aus dieser Urne ziehen und die erste gezogene Kugel nach dem Zug wieder zurück in die Urne legen. Wir stellen also fest, dass es sich im jetzigen Fall um einen Zufallsversuch mit Zurücklegen handelt.

Dieser Zufallsversuch lässt sich durch das folgende Baumdiagramm illustrieren:

Wir sehen auf der ersten Stufe, welche den ersten Zug darstellt, dass die Wahrscheinlichkeit eine schwarze Kugel zu ziehen $P\left(schwarz\right)=\frac{2}{5}$ beträgt. Es gibt insgesamt fünf Kugeln von denen 2 schwarz sind.

Die Wahrscheinlichkeit beim ersten Zug eine weiße Kugel zu ziehen betr\ägt $P\left(\textrm{weiss}\right)=\frac{3}{5}$, denn von unseren insgesamt fünf Kugeln sind drei Kugeln weiß.
Da wir unsere erste gezogene Kugel in jedem Fall wieder zurück in die Urne legen, ändern sich die Wahrscheinlichkeiten beim zweiten Zug nicht, denn die Voraussetzungen sind wieder die gleichen wie vor dem ersten Zug.

Dazu wollen wir uns die folgenden Fragen angucken und beantworten:

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit zwei schwarze Kugeln zu ziehen?

Zuerst überlegen wir uns welcher Pfad das gefragte Ereignis repräsentiert. Wir werfen einen Blick auf unseren Baum und sehen, dass der oberste Pfad von links nach rechts gesehen unser Ereignis schwarz, schwarz darstellt. Wir berechnen unsere Wahrscheinlichkeit entlang eines Pfades mit der Pfadmultiplikationsregel.
Für unseren Fall: $P\left(schwarz\mathrel{\left|\vphantom{schwarz schwarz}\right.}schwarz\right)=$ $\frac{2}{5}\cdot \frac{2}{5}$ $=$ $\frac{4}{25}$
Die Wahrscheinlichkeit zwei schwarze Kugeln zu ziehen liegt bei 4/25 bzw. 16%.

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine schwarze Kugel und eine weiße Kugel zu ziehen?

Zu diesem Ereignis gehören sowohl der Pfad schwarz – weiß als auch der Pfad weiß – schwarz. Wir müssen jetzt die Wahrscheinlichkeit für beide Einzelpfade berechnen und anschließend addieren. Dabei handelt es sich um die sogenannte Pfadadditionsregel. Also:
\[P\left(schwarz\mathrel{\left|\vphantom{schwarz weiss}\right.}weiss\right)+P\left(weiss\mathrel{\left|\vphantom{weiss schwarz}\right.}schwarz\right)=\frac{2}{5}\cdot \frac{3}{5}+\frac{3}{5}\cdot \frac{2}{5}=\frac{6}{25}+\frac{6}{25}=\frac{12}{25}\]

Die Wahrscheinlichkeit sowohl eine schwarze als auch eine weiße Kugel zu ziehen beträgt demnach 12/25 bzw. 48%.

Als nächstes wollen wir uns den gleichen Zufallsversuch erneut angucken. Dieses Mal legen wir die Kugel nach dem ersten Zug aber nicht wieder zurück in die Urne. Es handelt sich also jetzt um einen Zufallsversuch ohne Zurücklegen. Auch diesen können wir mittels eines Baumdiagrammes darstellen:

Wir sehen, dass sich die Wahrscheinlichkeiten beim ersten Zug nicht ändern, denn die Situation ist zu Beginn genau die Gleiche wie vorher.
Aber beim zweiten Zug ändern sich die Wahrscheinlichkeiten, denn nach dem ersten Zug ist insgesamt eine Kugel weniger in der Urne. Wir betrachten den Pfad schwarz, schwarz und sehen, dass die Wahrscheinlichkeit beim zweiten Zug nur noch 1/4 beträgt.

Denn wie gesagt, es ist insgesamt eine Kugel weniger in der Urne und da wir beim ersten Zug ebenfalls eine schwarze Kugel gezogen haben, ist also eine schwarze Kugel weniger vorhanden. Grundsätzlich gelten hier aber dieselben Regeln wie beim Zufallsversuch vorher.

Merkt euch also, dass ihr am Anfang unterscheiden müsst, ob es sich um einen Zufallsversuch mit oder ohne Zurücklegen handelt. Danach könnt ihr den passenden Baum zeichnen und die einzelnen Wahrscheinlichkeiten bestimmen.

Beispielaufgaben

Beipsielaufgabe 1 – Wahrscheinlichkeitsrechnung

Ein weltbekannter Fußball-Profi hat bei Elfmeterschüssen eine Trefferquote von 90%.

1. Ergänze die fehlenden Wahrscheinlichkeiten.
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er bei zwei hintereinander ausgeführten Schüssen mindestens einen Treffer erzielt?
3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er bei zwei hintereinander ausgeführten Schüssen beide trifft?

Lösungen:

Aufgabenteil 1:

Aufgabenteil 2:

Bei dieser Teilaufgabe müssen wir dem Wort „mindestens“ eine besonders große Bedeutung beimessen. Denn „mindestens einen Treffer“ bedeutet, dass sowohl ein Treffer als auch zwei Treffer hier für unsere Lösung in Frage kommen. Wir schauen uns in diesem Zusammenhang unser Baumdiagramm an und sehen, dass alle Pfade auf denen ein oder zwei Treffer erscheinen, Teil unserer Lösung sind. Anschließend berechnen wir die einzelnen Pfadwahrscheinlichkeiten mit Hilfe der sogenannten Pfadmultiplikationsregel:

\begin{align*}
?(?;?)=0,9∙0,9=0,81 \\
?(?;??)=0,9∙0,1=0,09 \\
?(??;?)=0,1∙0,9=0,09 \\
\end{align*}

Letztlich müssen wir nun die drei einzelnen Pfadwahrscheinlichkeiten addieren um auf unsere Gesamtwahrscheinlichkeit zu kommen (Pfadadditionsregel):

\begin{align*}
0,81 + 0,09 + 0,09 = 0,99
\end{align*}

Die Wahrscheinlichkeit, dass unser Profi-Fußballer bei zwei hintereinander ausgeführten Schüssen mindestens einen Treffer erzielt, beträgt 99%.

Aufgabenteil 3:

Hier müssen wir lediglich den oberen Pfad berücksichtigen, denn nur dieser gehört zu dem Ereignis, dass zwei Treffer hintereinander erzielt werden (Pfadmultiplikationsregel):

\begin{align*}
?(?;?)=0,9∙0,9=0,81
\end{align*}

Die Wahrscheinlichkeit, dass unser Profi-Fußballer bei zwei Treffer hintereinander erzielt, beträgt 81%.

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NEU

Beispielaufgabe 2 – Warscheinlichkeitsrechnung

In einer Urne befinden sich 6 schwarze und 4 weiße Kugeln. Es wird zweimal ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit hintereinander zwei weiße Kugeln zu ziehen?

Lösung:

Wichtig: Es ist bei dieser Aufgabe nicht erforderlich, ein vollständiges Baumdiagramm zu zeichnen, um die richtige Lösung berechnen zu können.

Es befinden sich insgesamt $4$ weiße Kugeln in der Urne. Insgesamt befinden sich $4+6=10$ Kugeln in der Urne. Die Wahrscheinlichkeit beim ersten Zug eine weiße Kugel zu ziehen beträgt demnach $\frac{4}{10}$. Es wird nicht zurückgelegt, deswegen herrschen vor dem zweiten Zug veränderte Bedingungen. Eine weiße Kugel wurde bereits gezogen, deswegen befinden sich zum jetzigen Zeitpunkt insgesamt nur noch 3 weiße Kugeln in der Urne. Selbstverständlich verringert sich auch die Gesamtzahl der Kugeln von $10$ auf $9$ Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit beim zweiten Zug ebenfalls eine weiße Kugel zu ziehen beträgt also $\frac{3}{9}$. Jetzt müssen wir nach der Pfadmultiplikationsregel beide Wahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren: $\frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9} = \frac{2}{15} $. Die Wahrscheinlichkeit hintereinander zwei weiße Kugeln zu ziehen beträgt $\frac{2}{15}$

Urnenmodelle und Pfadregeln in der Stochastik, Wahrscheinlichkeit | Mathe by Daniel Jung