Wie viel passt da rein?
Schwimmbad oder Päckchen: Du weißt schon, dass das mathematisch Quader sind.
Bild: Caro Fotoagentur GmbH (Bastian)Bild: Deutsche Post DHL Group
Ein besonderer Quader ist der Würfel.
Aber wie viel Platz ist in den Päckchen oder wie viel Wasser passt in das Schwimmbad?
Los geht’s!
Was ist das Volumen von Körpern?
Da Würfel und Quader Körper sind, kannst du sie füllen. Füllst du zum Beispiel einen Würfel mit Wasser und misst dies in einem Messbecher, erhältst du das Volumen des Würfels. Das Volumen gibt dir also an, wie viel Flüssigkeit in diesen Körper passt.
Du kannst Quader und Würfel mit Einheitswürfeln füllen. Das Volumen des Körpers gibt dann an, wie viele Einheitswürfel in den Körper passen.
Ein Einheitswürfel hat die Kantenlänge a = 1cm und das Volumen V = 1cm$$\cdot$$1cm$$\cdot$$1cm=1cm³.
Volumen eines Würfels berechnen
Gegeben ist ein Würfel mit der Kantenlänge $$a = 4cm$$.
Du rechnest:
1. die Grundfläche (blau)
$$G = a*a$$
$$ G = 4$$ $$cm*4$$ $$cm$$
$$G= 16$$ $$cm^2$$
Im Bild dargestellt durch 16 Kästchen mit einer Kantenlänge von 1 cm.
Von der Fläche zum Volumen: Um das Volumen eines Körpers zu berechnen, musst du die Grundfläche G noch mit der Höhe des Würfels multiplizieren, wie im nächsten Schritt.
2. das Volumen
$$V = G * a $$
$$V = 16$$ $$cm^2$$ $$*4$$ $$cm$$
$$V = 64$$ $$cm^3$$
Da der Würfel 4 cm hoch ist, passen 4 Schichten von den 16 Einheitswürfeln in den großen Würfel. Insgesamt sind das 64 Einheitswürfel.
So geht es schneller: Du kannst auch gleich die drei Seiten des Würfels multiplizieren:
$$V = a * a * a$$
$$V=4cm*4cm*4cm=64cm^3 $$
Für das Volumen des Würfels gilt: $$V=a*a*a=a^3$$
Flächeninhalt eines Quadrats: $$G = a * a$$.
$$cm*cm=cm^2$$
Volumen eines Quaders
Gegeben ist ein Quader mit den Kantenlängen
$$a = 5$$ $$cm$$,
$$b = 3$$ $$cm$$,
$$c = 2$$ $$cm$$.
Du rechnest:
1. die Grundfläche (blau):
$$G = a*b$$
$$G = 5$$ $$cm*3$$ $$cm$$
$$G = 15$$ $$cm^2$$
Da du aber keine Fläche, sondern das Volumen eines Körpers berechnen willst, musst du die Grundfläche $$G$$ noch mit der Höhe des Quaders multiplizieren.
2. das Volumen:
$$V = G * c$$
$$V = 15$$ $$cm^2 * 2$$ $$cm$$
$$V = 30$$ $$cm^3 $$
Da der Quader 2 cm hoch ist, passen 2 Schichten von den 15 Einheitswürfeln in den Quader. Insgesamt sind das 30 Einheitswürfel.
So geht es schneller:Du kannst auch gleich die drei Kanten des Quaders multiplizieren:
$$V = a * b * c$$
$$ V=5 $$ $$cm*3$$ $$cm*2$$ $$cm=30$$ $$cm^3$$
Für das Volumen des Quaders gilt:
$$V = a * b *c$$
Flächeninhalt eines Rechtecks:
$$G = a * b$$
Das Volumen wird in cm³ (sprich: Kubikzentimeter) angegeben.
$$cm * cm * cm = cm³$$
Und andersrum: Eine Fläche aus dem Volumen berechnen
Wenn du das Volumen eines Quaders und die Größe einer Seitenfläche kennst, kannst du die dritte Seitenkante des Quaders berechnen.
Beispiel mit der Grundfläche
Das Volumen des Quaders beträgt 12 cm³.
Du kannst aus den 2 gegebenen Seitenlängen die Grundfläche berechnen.
$$G =a*b= 2$$ $$cm*3$$ $$cm=6$$ $$cm^2$$
Also gilt für das Volumen:
$$V = a * b * c $$
$$ V = G * c $$
$$ 12$$ $$cm^3 = 6$$ $$cm^2 * c$$
Wie kommst du an das c ran?
Rechne:
Was mal 6 ist 12? Oder also 12 geteilt durch 6 →=2 cm
Mathematisch ordentlich aufgeschrieben:
$$V : G = c$$
$$ 12$$ $$cm^3 : 6$$ $$cm^2 = c $$
$$ 2$$ $$cm = c$$
Flächeninhalt eines Rechtecks:
$$G = a * b$$
Komme nicht durcheinander mit den Einheiten:
cm für Längen
cm² für Flächen
cm³ für Volumina
Eine Seitenlänge aus dem Volumen berechnen
Wenn du das Volumen und eine Seitenlänge eines Quaders kennst, kannst du eine Seitenfläche berechnen.
Beispiel mit der Grundfläche:
Das Volumen des Quaders beträgt 18 cm³.
Wie groß ist G?
$$V = a * b * c$$
$$ V = G * c $$
$$ 18$$ $$cm^3 = G * 3$$ $$cm$$
Wie kommst du an G ran?
Rechne: Was mal 3 ist 18? Oder also 18 geteilt durch 3
→ G=6 cm²
Mathematisch ordentlich aufgeschrieben:
$$ V : c = G$$
$$18$$ $$cm^3 : 3$$ $$cm = G$$
$$ 6$$ $$cm^2 = G$$
Flächeninhalt eines
Rechtecks:
$$G = a * b$$
Komme nicht durcheinander mit den Einheiten:
cm für Längen
cm² für Flächen
cm³ für Volumina