Klassifizierung nach Größe der Seitenlängen
Ungleichseitige Dreiecke sind Dreiecke, deren drei Seiten alle unterschiedlich lang sind.
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Für ein ungleichseitiges Dreieck gilt: $a~\neq~b~\neq~c$
Beispiel für ein ungleichseitiges Dreieck
Dreiecke werden als gleichschenklig bezeichnet, wenn zwei der drei Seiten gleich lang sind. Die gleich langen Seiten bezeichnet man als Schenkel, die dritte Seite als Grundseite oder Basis.
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Für gleichschenklige Dreiecke gilt: $a~=~b~\neq~c$
Beispiel für ein gleichschenkliges Dreieck
Dreiecke können auch drei gleich lange Seiten besitzen. Man bezeichnet dieses Dreieck dann als gleichseitig. In einem gleichseitigen Dreieck beträgt die Größe jedes Innenwinkels $60°$.
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Für gleichseitige Dreiecke gilt: $a~=~b~=~c$
Beispiel für ein gleichseitiges Dreieck
Klassifizierung nach Größe der Winkel
Dreiecke werden als spitzwinklige Dreiecke bezeichnet, wenn sie ausschließlich Winkel unter $90°$ besitzen. Die Seiten können, müssen aber nicht, gleich lang sein.
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Für spitzwinklige Dreiecke gilt: $\alpha < 90°$, $\beta < 90°$, $\gamma < 90°$
Beispiel für ein spitzwinkliges Dreieck
Eine sehr wichtige Dreiecksart ist das rechtwinklige Dreieck. Ein rechtwinkliges Dreieck besitzt einen rechten Winkel. Die Seiten, die die Schenkel des rechten Winkels bilden, nennt man Katheten. Die Seite, die dem rechten Winkel gegenüber liegt, bezeichnet man als Hypotenuse. Die beiden anderen Winkel müssen nach dem Innenwinkelsatz spitze Winkel sein, also unter $90°$. Das rechtwinklige Dreieck wird dir noch oft begegnen zum Beispiel beim Satz des Pythagoras, dem Satz des Thales sowie dem Höhen- und Kathetensatz.
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Für rechtwinklige Dreiecke gilt: $\alpha$ oder $\beta$ oder $\gamma = 90°$
Beispiel für ein rechtwinkliges Dreieck
Stumpfwinklige Dreiecke besitzen einen stumpfen Winkel, das heißt einen Winkel zwischen $90°$ und $180°$. Die Seite gegenüber dem stumpfen Winkel ist die längste Seite des Dreiecks.
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Für stumpfwinklige Dreiecke gilt: $\alpha$ oder $\beta$ oder $\gamma = 90°$ bis $180°$
Beispiel für ein stumpfwinkliges Dreieck
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Das allgemeine (beliebige) Dreieck
Definition und Eigenschaften
allgemeines Dreieck
Ein Dreieck wird durch drei Punkte definiert, die nicht auf einer Geraden liegen. Sie werden Ecken des Dreiecks genannt. Die Verbindungsstrecken zwischen je zwei Ecken heißen Seiten des Dreiecks. Der von je zwei an einem Eckpunkt zusammentreffenden Seiten gebildete Winkel ist eine wichtige Größe zur Charakterisierung des Dreiecks.
In der Geometrie werden die Eckpunkte des Dreiecks in der Regel mit A, B und C bezeichnet, üblicherweise so wie abgebildet gegen den Uhrzeigersinn. Die Seite, die einer Ecke gegenüberliegt, wird analog a, b bzw. c genannt. Damit liegt z. B. die Seite a dem Eckpunkt A gegenüber, verbindet also die Punkte B und C. Häufig wird mit a, b und c auch stattdessen die Länge der jeweiligen Seite BC, CA oder AB bezeichnet. Die Winkel werden α, β und γ genannt; α ist der Winkel am Eckpunkt A, β liegt am Eckpunkt B und γ liegt am Eckpunkt C
- Die Summe der Innenwinkel in einem planaren (ebenen) Dreieck beträgt immer 180°.
- Die Gesamtlänge zweier Seiten eines Dreiecks ist immer größer oder gleich der Länge der dritten Seite.
Das gleichseitige Dreieck
Eigenschaften
- Bei einem gleichseitigen Dreieck sind alle drei Seiten gleich lang und alle drei Innenwinkel gleich groß.
- Jeder Winkel eines gleichseitigen Dreiecks beträgt 60°.
- Das gleichseitige Dreieck zählt zu den spitzwinkligen Dreiecken, weil alle drei Winkel kleiner als 90° sind.
- Außerdem ist das gleichseitige Dreieck auch ein gleichschenkliges Dreieck.
- Alle gleichseitigen Dreiecke sind zueinander ähnlich.
Das gleichschenklige Dreieck
Links ein gleichschenkliges, rechts ein gleichseitiges Dreieck
- Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind mindestens zwei Seiten gleich lang und daher die diesen Seiten gegenüberliegenden Winkel gleich groß.
- Die beiden gleich langen Seiten bezeichnet man als Schenkel, die dritte als Basis.
- Die gleich großen Winkel, die den Schenkeln gegenüber liegen, heißen Basiswinkel.
- Der Punkt, an dem beide Schenkel zusammentreffen, nennt man Spitze.
- Das gleichseitige Dreieck lässt sich als eine spezielle Form des gleichschenkligen Dreiecks sehen, bei der jede Seite gleichzeitig Schenkel und Basis ist und jede Ecke des Dreiecks als Spitze bezeichnet werden kann.
Das rechtwinklige Dreieck
- Ein rechtwinkliges Dreieck besitzt einen 90°-Winkel, auch rechter Winkel genannt.
- Die längste Seite des Dreiecks liegt dem rechten Winkel gegenüber und wird Hypotenuse genannt.
- Die beiden anderen Seiten heißen Katheten.
Literatur
- Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie, 3. Aufl., Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-49327-3